Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8154 / 6005
↖ ↑ ↗
← N 43.245203°
W  0.834961°		 ← 1 779.75 m → N 43.245203°
W  0.812988°		 →
↑
1 779.93 m
↓
↑
1 779.93 m
↓
N 43.229195°
W  0.834961°		 ← 1 780.22 m →
3 168 252 m²		 N 43.229195°
W  0.812988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497711181640625 y=0.366546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497711181640625 × 214)
    floor (0.497711181640625 × 16384)
    floor (8154.5)     		tx = 8154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366546630859375 × 214)
    floor (0.366546630859375 × 16384)
    floor (6005.5)     		ty = 6005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8154 / 6005 ti = "14/8154/6005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8154/6005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8154 ÷ 214
    8154 ÷ 16384     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6005 ÷ 214
    6005 ÷ 16384     		y = 0.36651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36651611328125 × 2 - 1) × π
    0.2669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.838703995752502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838703995752502))-π/2
    2×atan(2.31336689981658)-π/2
    2×1.16278374998467-π/2
    2.32556749996933-1.57079632675     		φ = 0.75477117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75477117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.245203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8154 KachelY 6005 -0.01457282 0.75477117 -0.834961 43.245203
    Oben rechts KachelX + 1 8155 KachelY 6005 -0.01418932 0.75477117 -0.812988 43.245203
    Unten links KachelX 8154 KachelY + 1 6006 -0.01457282 0.75449179 -0.834961 43.229195
    Unten rechts KachelX + 1 8155 KachelY + 1 6006 -0.01418932 0.75449179 -0.812988 43.229195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75477117-0.75449179) × R
    0.000279380000000051 × 6371000     		dl = 1779.92998000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75477117-0.75449179) × R
    0.000279380000000051 × 6371000     		dr = 1779.92998000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01418932) × cos(0.75477117) × R
    0.0003835 × 0.728428338720065 × 6371000     		do = 1779.75329878545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01418932) × cos(0.75449179) × R
    0.0003835 × 0.728619719673954 × 6371000     		du = 1780.2208957554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75477117)-sin(0.75449179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728428338720065-0.728619719673954)×R²
    abs(-0.01418932--0.01457282)×0.000191380953889486×R²
    0.0003835×0.000191380953889486×6371000²
    0.0003835×0.000191380953889486×40589641000000     		ar = 3168252.41905376m²