Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8153 / 5783
↖ ↑ ↗
← N 46.694667°
W  0.856933°		 ← 1 675.77 m → N 46.694667°
W  0.834961°		 →
↑
1 676.02 m
↓
↑
1 676.02 m
↓
N 46.679595°
W  0.856933°		 ← 1 676.23 m →
2 809 009 m²		 N 46.679595°
W  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497650146484375 y=0.352996826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497650146484375 × 214)
    floor (0.497650146484375 × 16384)
    floor (8153.5)     		tx = 8153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352996826171875 × 214)
    floor (0.352996826171875 × 16384)
    floor (5783.5)     		ty = 5783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8153 / 5783 ti = "14/8153/5783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8153/5783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8153 ÷ 214
    8153 ÷ 16384     		x = 0.49761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5783 ÷ 214
    5783 ÷ 16384     		y = 0.35296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35296630859375 × 2 - 1) × π
    0.2940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.923839929477722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01495631} λ = -0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923839929477722))-π/2
    2×atan(2.51894441159152)-π/2
    2×1.19288600721039-π/2
    2.38577201442078-1.57079632675     		φ = 0.81497569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81497569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.694667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8153 KachelY 5783 -0.01495631 0.81497569 -0.856933 46.694667
    Oben rechts KachelX + 1 8154 KachelY 5783 -0.01457282 0.81497569 -0.834961 46.694667
    Unten links KachelX 8153 KachelY + 1 5784 -0.01495631 0.81471262 -0.856933 46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 8154 KachelY + 1 5784 -0.01457282 0.81471262 -0.834961 46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81497569-0.81471262) × R
    0.000263070000000032 × 6371000     		dl = 1676.0189700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81497569-0.81471262) × R
    0.000263070000000032 × 6371000     		dr = 1676.0189700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01495631--0.01457282) × cos(0.81497569) × R
    0.00038349 × 0.685886084263372 × 6371000     		do = 1675.76702532746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01495631--0.01457282) × cos(0.81471262) × R
    0.00038349 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 1676.23469243384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81497569)-sin(0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685886084263372-0.686077498914387)×R²
    abs(-0.01457282--0.01495631)×0.000191414651015687×R²
    0.00038349×0.000191414651015687×6371000²
    0.00038349×0.000191414651015687×40589641000000     		ar = 2809009.24942056m²