Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8152 / 5785
↖ ↑ ↗
← N 46.664517°
W  0.878906°		 ← 1 676.75 m → N 46.664517°
W  0.856933°		 →
↑
1 676.91 m
↓
↑
1 676.91 m
↓
N 46.649436°
W  0.878906°		 ← 1 677.21 m →
2 812 146 m²		 N 46.649436°
W  0.856933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497589111328125 y=0.353118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497589111328125 × 214)
    floor (0.497589111328125 × 16384)
    floor (8152.5)     		tx = 8152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353118896484375 × 214)
    floor (0.353118896484375 × 16384)
    floor (5785.5)     		ty = 5785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8152 / 5785 ti = "14/8152/5785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8152/5785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8152 ÷ 214
    8152 ÷ 16384     		x = 0.49755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5785 ÷ 214
    5785 ÷ 16384     		y = 0.35308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35308837890625 × 2 - 1) × π
    0.2938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.923072939083801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01533981} λ = -0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923072939083801))-π/2
    2×atan(2.51701314615071)-π/2
    2×1.19262289978357-π/2
    2.38524579956715-1.57079632675     		φ = 0.81444947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81444947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.664517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8152 KachelY 5785 -0.01533981 0.81444947 -0.878906 46.664517
    Oben rechts KachelX + 1 8153 KachelY 5785 -0.01495631 0.81444947 -0.856933 46.664517
    Unten links KachelX 8152 KachelY + 1 5786 -0.01533981 0.81418626 -0.878906 46.649436
    Unten rechts KachelX + 1 8153 KachelY + 1 5786 -0.01495631 0.81418626 -0.856933 46.649436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81444947-0.81418626) × R
    0.000263209999999958 × 6371000     		dl = 1676.91090999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81444947-0.81418626) × R
    0.000263209999999958 × 6371000     		dr = 1676.91090999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01533981--0.01495631) × cos(0.81444947) × R
    0.0003835 × 0.686268924272678 × 6371000     		do = 1676.74610789356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01533981--0.01495631) × cos(0.81418626) × R
    0.0003835 × 0.686460345738307 × 6371000     		du = 1677.21380384497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81444947)-sin(0.81418626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686268924272678-0.686460345738307)×R²
    abs(-0.01495631--0.01533981)×0.000191421465629116×R²
    0.0003835×0.000191421465629116×6371000²
    0.0003835×0.000191421465629116×40589641000000     		ar = 2812146.00008255m²