Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8152 / 5705
↖ ↑ ↗
← N 47.857403°
W  0.878906°		 ← 1 639.39 m → N 47.857403°
W  0.856933°		 →
↑
1 639.58 m
↓
↑
1 639.58 m
↓
N 47.842658°
W  0.878906°		 ← 1 639.85 m →
2 688 282 m²		 N 47.842658°
W  0.856933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497589111328125 y=0.348236083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497589111328125 × 214)
    floor (0.497589111328125 × 16384)
    floor (8152.5)     		tx = 8152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348236083984375 × 214)
    floor (0.348236083984375 × 16384)
    floor (5705.5)     		ty = 5705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8152 / 5705 ti = "14/8152/5705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8152/5705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8152 ÷ 214
    8152 ÷ 16384     		x = 0.49755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5705 ÷ 214
    5705 ÷ 16384     		y = 0.34820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01533981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34820556640625 × 2 - 1) × π
    0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01533981} λ = -0.01533981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953752554840637))-π/2
    2×atan(2.59543090496048)-π/2
    2×1.20303278937093-π/2
    2.40606557874186-1.57079632675     		φ = 0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01533981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8152 KachelY 5705 -0.01533981 0.83526925 -0.878906 47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 8153 KachelY 5705 -0.01495631 0.83526925 -0.856933 47.857403
    Unten links KachelX 8152 KachelY + 1 5706 -0.01533981 0.83501190 -0.878906 47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 8153 KachelY + 1 5706 -0.01495631 0.83501190 -0.856933 47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83526925-0.83501190) × R
    0.000257349999999934 × 6371000     		dl = 1639.57684999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83526925-0.83501190) × R
    0.000257349999999934 × 6371000     		dr = 1639.57684999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01533981--0.01495631) × cos(0.83526925) × R
    0.0003835 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 1639.38627834819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01533981--0.01495631) × cos(0.83501190) × R
    0.0003835 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 1639.85244839994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83526925)-sin(0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.01495631--0.01533981)×0.000190796936060611×R²
    0.0003835×0.000190796936060611×6371000²
    0.0003835×0.000190796936060611×40589641000000     		ar = 2688281.96583645m²