Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8151 / 5719
↖ ↑ ↗
← N 47.650587°
W  0.900879°		 ← 1 645.87 m → N 47.650587°
W  0.878906°		 →
↑
1 646.08 m
↓
↑
1 646.08 m
↓
N 47.635784°
W  0.900879°		 ← 1 646.34 m →
2 709 613 m²		 N 47.635784°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497528076171875 y=0.349090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497528076171875 × 214)
    floor (0.497528076171875 × 16384)
    floor (8151.5)     		tx = 8151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349090576171875 × 214)
    floor (0.349090576171875 × 16384)
    floor (5719.5)     		ty = 5719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8151 / 5719 ti = "14/8151/5719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8151/5719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8151 ÷ 214
    8151 ÷ 16384     		x = 0.49749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5719 ÷ 214
    5719 ÷ 16384     		y = 0.34906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34906005859375 × 2 - 1) × π
    0.3018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.948383622083191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01572330} λ = -0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.948383622083191))-π/2
    2×atan(2.58153355131686)-π/2
    2×1.20122798520187-π/2
    2.40245597040374-1.57079632675     		φ = 0.83165964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83165964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.650587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8151 KachelY 5719 -0.01572330 0.83165964 -0.900879 47.650587
    Oben rechts KachelX + 1 8152 KachelY 5719 -0.01533981 0.83165964 -0.878906 47.650587
    Unten links KachelX 8151 KachelY + 1 5720 -0.01572330 0.83140127 -0.900879 47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 8152 KachelY + 1 5720 -0.01533981 0.83140127 -0.878906 47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83165964-0.83140127) × R
    0.000258370000000063 × 6371000     		dl = 1646.0752700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83165964-0.83140127) × R
    0.000258370000000063 × 6371000     		dr = 1646.0752700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01572330--0.01533981) × cos(0.83165964) × R
    0.000383489999999998 × 0.673650130772391 × 6371000     		do = 1645.87196278853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01572330--0.01533981) × cos(0.83140127) × R
    0.000383489999999998 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 1646.33843593312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83165964)-sin(0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673650130772391-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.01533981--0.01572330)×0.000190925966270572×R²
    0.000383489999999998×0.000190925966270572×6371000²
    0.000383489999999998×0.000190925966270572×40589641000000     		ar = 2709613.07556032m²