Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8150 / 5723
↖ ↑ ↗
← N 47.591346°
W  0.922852°		 ← 1 647.78 m → N 47.591346°
W  0.900879°		 →
↑
1 647.99 m
↓
↑
1 647.99 m
↓
N 47.576526°
W  0.922852°		 ← 1 648.25 m →
2 715 905 m²		 N 47.576526°
W  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497467041015625 y=0.349334716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497467041015625 × 214)
    floor (0.497467041015625 × 16384)
    floor (8150.5)     		tx = 8150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349334716796875 × 214)
    floor (0.349334716796875 × 16384)
    floor (5723.5)     		ty = 5723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8150 / 5723 ti = "14/8150/5723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8150/5723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8150 ÷ 214
    8150 ÷ 16384     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5723 ÷ 214
    5723 ÷ 16384     		y = 0.34930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34930419921875 × 2 - 1) × π
    0.3013916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.946849641295349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.946849641295349))-π/2
    2×atan(2.57757656419301)-π/2
    2×1.20071100912708-π/2
    2.40142201825416-1.57079632675     		φ = 0.83062569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83062569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.591346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8150 KachelY 5723 -0.01610680 0.83062569 -0.922852 47.591346
    Oben rechts KachelX + 1 8151 KachelY 5723 -0.01572330 0.83062569 -0.900879 47.591346
    Unten links KachelX 8150 KachelY + 1 5724 -0.01610680 0.83036702 -0.922852 47.576526
    Unten rechts KachelX + 1 8151 KachelY + 1 5724 -0.01572330 0.83036702 -0.900879 47.576526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83062569-0.83036702) × R
    0.000258670000000016 × 6371000     		dl = 1647.9865700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83062569-0.83036702) × R
    0.000258670000000016 × 6371000     		dr = 1647.9865700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01572330) × cos(0.83062569) × R
    0.000383500000000002 × 0.674413911718935 × 6371000     		do = 1647.78101060378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01572330) × cos(0.83036702) × R
    0.000383500000000002 × 0.674604879051399 × 6371000     		du = 1648.24759698139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83062569)-sin(0.83036702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674413911718935-0.674604879051399)×R²
    abs(-0.01572330--0.01610680)×0.000190967332464043×R²
    0.000383500000000002×0.000190967332464043×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190967332464043×40589641000000     		ar = 2715905.45496323m²