Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8150 / 5722
↖ ↑ ↗
← N 47.606163°
W  0.922852°		 ← 1 647.31 m → N 47.606163°
W  0.900879°		 →
↑
1 647.54 m
↓
↑
1 647.54 m
↓
N 47.591346°
W  0.922852°		 ← 1 647.78 m →
2 714 402 m²		 N 47.591346°
W  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497467041015625 y=0.349273681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497467041015625 × 214)
    floor (0.497467041015625 × 16384)
    floor (8150.5)     		tx = 8150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349273681640625 × 214)
    floor (0.349273681640625 × 16384)
    floor (5722.5)     		ty = 5722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8150 / 5722 ti = "14/8150/5722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8150/5722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8150 ÷ 214
    8150 ÷ 16384     		x = 0.4974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5722 ÷ 214
    5722 ÷ 16384     		y = 0.3492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3492431640625 × 2 - 1) × π
    0.301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.94723313649231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01610680} λ = -0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94723313649231))-π/2
    2×atan(2.57856524198965)-π/2
    2×1.2008403080667-π/2
    2.4016806161334-1.57079632675     		φ = 0.83088429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83088429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.606163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8150 KachelY 5722 -0.01610680 0.83088429 -0.922852 47.606163
    Oben rechts KachelX + 1 8151 KachelY 5722 -0.01572330 0.83088429 -0.900879 47.606163
    Unten links KachelX 8150 KachelY + 1 5723 -0.01610680 0.83062569 -0.922852 47.591346
    Unten rechts KachelX + 1 8151 KachelY + 1 5723 -0.01572330 0.83062569 -0.900879 47.591346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83088429-0.83062569) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dl = 1647.54059999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83088429-0.83062569) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dr = 1647.54059999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01610680--0.01572330) × cos(0.83088429) × R
    0.000383500000000002 × 0.674222950958275 × 6371000     		do = 1647.31444028292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01610680--0.01572330) × cos(0.83062569) × R
    0.000383500000000002 × 0.674413911718935 × 6371000     		du = 1647.78101060378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83088429)-sin(0.83062569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674222950958275-0.674413911718935)×R²
    abs(-0.01572330--0.01610680)×0.000190960760659942×R²
    0.000383500000000002×0.000190960760659942×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190960760659942×40589641000000     		ar = 2714401.78323098m²