Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8145 / 5966
↖ ↑ ↗
← N 43.866218°
W  1.032715°		 ← 1 761.46 m → N 43.866218°
W  1.010742°		 →
↑
1 761.71 m
↓
↑
1 761.71 m
↓
N 43.850374°
W  1.032715°		 ← 1 761.93 m →
3 103 592 m²		 N 43.850374°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497161865234375 y=0.364166259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497161865234375 × 214)
    floor (0.497161865234375 × 16384)
    floor (8145.5)     		tx = 8145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364166259765625 × 214)
    floor (0.364166259765625 × 16384)
    floor (5966.5)     		ty = 5966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8145 / 5966 ti = "14/8145/5966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8145/5966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8145 ÷ 214
    8145 ÷ 16384     		x = 0.49713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5966 ÷ 214
    5966 ÷ 16384     		y = 0.3641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3641357421875 × 2 - 1) × π
    0.271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.85366030843396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01802427} λ = -0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85366030843396))-π/2
    2×atan(2.34822637329887)-π/2
    2×1.16820313069467-π/2
    2.33640626138934-1.57079632675     		φ = 0.76560993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76560993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.866218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8145 KachelY 5966 -0.01802427 0.76560993 -1.032715 43.866218
    Oben rechts KachelX + 1 8146 KachelY 5966 -0.01764078 0.76560993 -1.010742 43.866218
    Unten links KachelX 8145 KachelY + 1 5967 -0.01802427 0.76533341 -1.032715 43.850374
    Unten rechts KachelX + 1 8146 KachelY + 1 5967 -0.01764078 0.76533341 -1.010742 43.850374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76560993-0.76533341) × R
    0.000276520000000002 × 6371000     		dl = 1761.70892000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76560993-0.76533341) × R
    0.000276520000000002 × 6371000     		dr = 1761.70892000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01802427--0.01764078) × cos(0.76560993) × R
    0.00038349 × 0.72095982418888 × 6371000     		do = 1761.45970545407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01802427--0.01764078) × cos(0.76533341) × R
    0.00038349 × 0.721151418584958 × 6371000     		du = 1761.92781171625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76560993)-sin(0.76533341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72095982418888-0.721151418584958)×R²
    abs(-0.01764078--0.01802427)×0.000191594396078298×R²
    0.00038349×0.000191594396078298×6371000²
    0.00038349×0.000191594396078298×40589641000000     		ar = 3103591.62858324m²