Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8145 / 5742
↖ ↑ ↗
← N 47.309034°
W  1.032715°		 ← 1 656.61 m → N 47.309034°
W  1.010742°		 →
↑
1 656.84 m
↓
↑
1 656.84 m
↓
N 47.294134°
W  1.032715°		 ← 1 657.07 m →
2 745 123 m²		 N 47.294134°
W  1.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497161865234375 y=0.350494384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497161865234375 × 214)
    floor (0.497161865234375 × 16384)
    floor (8145.5)     		tx = 8145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350494384765625 × 214)
    floor (0.350494384765625 × 16384)
    floor (5742.5)     		ty = 5742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8145 / 5742 ti = "14/8145/5742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8145/5742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8145 ÷ 214
    8145 ÷ 16384     		x = 0.49713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5742 ÷ 214
    5742 ÷ 16384     		y = 0.3504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3504638671875 × 2 - 1) × π
    0.299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.939563232553101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01802427} λ = -0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939563232553101))-π/2
    2×atan(2.55886354592399)-π/2
    2×1.19824737016932-π/2
    2.39649474033865-1.57079632675     		φ = 0.82569841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82569841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.309034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8145 KachelY 5742 -0.01802427 0.82569841 -1.032715 47.309034
    Oben rechts KachelX + 1 8146 KachelY 5742 -0.01764078 0.82569841 -1.010742 47.309034
    Unten links KachelX 8145 KachelY + 1 5743 -0.01802427 0.82543835 -1.032715 47.294134
    Unten rechts KachelX + 1 8146 KachelY + 1 5743 -0.01764078 0.82543835 -1.010742 47.294134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82569841-0.82543835) × R
    0.000260060000000006 × 6371000     		dl = 1656.84226000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82569841-0.82543835) × R
    0.000260060000000006 × 6371000     		dr = 1656.84226000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01802427--0.01764078) × cos(0.82569841) × R
    0.00038349 × 0.678043784656874 × 6371000     		do = 1656.60660294125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01802427--0.01764078) × cos(0.82543835) × R
    0.00038349 × 0.678234911421199 × 6371000     		du = 1657.07356667861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82569841)-sin(0.82543835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678043784656874-0.678234911421199)×R²
    abs(-0.01764078--0.01802427)×0.000191126764325755×R²
    0.00038349×0.000191126764325755×6371000²
    0.00038349×0.000191126764325755×40589641000000     		ar = 2745122.68604639m²