Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8144 / 5715
↖ ↑ ↗
← N 47.709761°
W  1.054688°		 ← 1 644.05 m → N 47.709761°
W  1.032715°		 →
↑
1 644.23 m
↓
↑
1 644.23 m
↓
N 47.694974°
W  1.054688°		 ← 1 644.52 m →
2 703 574 m²		 N 47.694974°
W  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497100830078125 y=0.348846435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497100830078125 × 214)
    floor (0.497100830078125 × 16384)
    floor (8144.5)     		tx = 8144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348846435546875 × 214)
    floor (0.348846435546875 × 16384)
    floor (5715.5)     		ty = 5715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8144 / 5715 ti = "14/8144/5715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8144/5715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8144 ÷ 214
    8144 ÷ 16384     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5715 ÷ 214
    5715 ÷ 16384     		y = 0.34881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34881591796875 × 2 - 1) × π
    0.3023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.949917602871033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949917602871033))-π/2
    2×atan(2.5854966130409)-π/2
    2×1.20174437551876-π/2
    2.40348875103752-1.57079632675     		φ = 0.83269242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83269242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.709761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8144 KachelY 5715 -0.01840777 0.83269242 -1.054688 47.709761
    Oben rechts KachelX + 1 8145 KachelY 5715 -0.01802427 0.83269242 -1.032715 47.709761
    Unten links KachelX 8144 KachelY + 1 5716 -0.01840777 0.83243434 -1.054688 47.694974
    Unten rechts KachelX + 1 8145 KachelY + 1 5716 -0.01802427 0.83243434 -1.032715 47.694974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83269242-0.83243434) × R
    0.000258079999999938 × 6371000     		dl = 1644.22767999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83269242-0.83243434) × R
    0.000258079999999938 × 6371000     		dr = 1644.22767999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01802427) × cos(0.83269242) × R
    0.000383500000000002 × 0.672886495161467 × 6371000     		do = 1644.04910656837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01802427) × cos(0.83243434) × R
    0.000383500000000002 × 0.673077386331862 × 6371000     		du = 1644.51550686084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83269242)-sin(0.83243434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672886495161467-0.673077386331862)×R²
    abs(-0.01802427--0.01840777)×0.000190891170395169×R²
    0.000383500000000002×0.000190891170395169×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190891170395169×40589641000000     		ar = 2703574.49744049m²