Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8143 / 5745
↖ ↑ ↗
← N 47.264320°
W  1.076660°		 ← 1 658.01 m → N 47.264320°
W  1.054688°		 →
↑
1 658.24 m
↓
↑
1 658.24 m
↓
N 47.249407°
W  1.076660°		 ← 1 658.47 m →
2 749 768 m²		 N 47.249407°
W  1.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497039794921875 y=0.350677490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497039794921875 × 214)
    floor (0.497039794921875 × 16384)
    floor (8143.5)     		tx = 8143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350677490234375 × 214)
    floor (0.350677490234375 × 16384)
    floor (5745.5)     		ty = 5745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8143 / 5745 ti = "14/8143/5745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8143/5745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8143 ÷ 214
    8143 ÷ 16384     		x = 0.49700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5745 ÷ 214
    5745 ÷ 16384     		y = 0.35064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35064697265625 × 2 - 1) × π
    0.2987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.938412746962219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01879126} λ = -0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938412746962219))-π/2
    2×atan(2.55592130311388)-π/2
    2×1.19785716544681-π/2
    2.39571433089361-1.57079632675     		φ = 0.82491800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82491800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.264320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8143 KachelY 5745 -0.01879126 0.82491800 -1.076660 47.264320
    Oben rechts KachelX + 1 8144 KachelY 5745 -0.01840777 0.82491800 -1.054688 47.264320
    Unten links KachelX 8143 KachelY + 1 5746 -0.01879126 0.82465772 -1.076660 47.249407
    Unten rechts KachelX + 1 8144 KachelY + 1 5746 -0.01840777 0.82465772 -1.054688 47.249407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82491800-0.82465772) × R
    0.000260280000000002 × 6371000     		dl = 1658.24388000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82491800-0.82465772) × R
    0.000260280000000002 × 6371000     		dr = 1658.24388000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01879126--0.01840777) × cos(0.82491800) × R
    0.00038349 × 0.678617196260608 × 6371000     		do = 1658.00757065225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01879126--0.01840777) × cos(0.82465772) × R
    0.00038349 × 0.678808346885465 × 6371000     		du = 1658.47459268602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82491800)-sin(0.82465772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678617196260608-0.678808346885465)×R²
    abs(-0.01840777--0.01879126)×0.00019115062485664×R²
    0.00038349×0.00019115062485664×6371000²
    0.00038349×0.00019115062485664×40589641000000     		ar = 2749768.14076701m²