Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8142 / 5989
↖ ↑ ↗
← N 43.500753°
W  1.098633°		 ← 1 772.27 m → N 43.500753°
W  1.076660°		 →
↑
1 772.48 m
↓
↑
1 772.48 m
↓
N 43.484812°
W  1.098633°		 ← 1 772.74 m →
3 141 720 m²		 N 43.484812°
W  1.076660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496978759765625 y=0.365570068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496978759765625 × 214)
    floor (0.496978759765625 × 16384)
    floor (8142.5)     		tx = 8142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365570068359375 × 214)
    floor (0.365570068359375 × 16384)
    floor (5989.5)     		ty = 5989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8142 / 5989 ti = "14/8142/5989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8142/5989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8142 ÷ 214
    8142 ÷ 16384     		x = 0.4969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5989 ÷ 214
    5989 ÷ 16384     		y = 0.36553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01917476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36553955078125 × 2 - 1) × π
    0.2689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.84483991890387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01917476} λ = -0.01917476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84483991890387))-π/2
    2×atan(2.32760517915665)-π/2
    2×1.16501384193756-π/2
    2.33002768387512-1.57079632675     		φ = 0.75923136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01917476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75923136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.500753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8142 KachelY 5989 -0.01917476 0.75923136 -1.098633 43.500753
    Oben rechts KachelX + 1 8143 KachelY 5989 -0.01879126 0.75923136 -1.076660 43.500753
    Unten links KachelX 8142 KachelY + 1 5990 -0.01917476 0.75895315 -1.098633 43.484812
    Unten rechts KachelX + 1 8143 KachelY + 1 5990 -0.01879126 0.75895315 -1.076660 43.484812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75923136-0.75895315) × R
    0.000278210000000056 × 6371000     		dl = 1772.47591000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75923136-0.75895315) × R
    0.000278210000000056 × 6371000     		dr = 1772.47591000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01917476--0.01879126) × cos(0.75923136) × R
    0.000383499999999998 × 0.725365329149086 × 6371000     		do = 1772.26951335538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01917476--0.01879126) × cos(0.75895315) × R
    0.000383499999999998 × 0.725556810851977 × 6371000     		du = 1772.7373564832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75923136)-sin(0.75895315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725365329149086-0.725556810851977)×R²
    abs(-0.01879126--0.01917476)×0.000191481702891405×R²
    0.000383499999999998×0.000191481702891405×6371000²
    0.000383499999999998×0.000191481702891405×40589641000000     		ar = 3141719.65905061m²