Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8141 / 6042
↖ ↑ ↗
← N 42.650122°
W  1.120606°		 ← 1 797.04 m → N 42.650122°
W  1.098633°		 →
↑
1 797.26 m
↓
↑
1 797.26 m
↓
N 42.633959°
W  1.120606°		 ← 1 797.51 m →
3 230 171 m²		 N 42.633959°
W  1.098633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496917724609375 y=0.368804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496917724609375 × 214)
    floor (0.496917724609375 × 16384)
    floor (8141.5)     		tx = 8141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368804931640625 × 214)
    floor (0.368804931640625 × 16384)
    floor (6042.5)     		ty = 6042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8141 / 6042 ti = "14/8141/6042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8141/6042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8141 ÷ 214
    8141 ÷ 16384     		x = 0.49688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6042 ÷ 214
    6042 ÷ 16384     		y = 0.3687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01955826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3687744140625 × 2 - 1) × π
    0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01955826} λ = -0.01955826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824514673464966))-π/2
    2×atan(2.28077357673984)-π/2
    2×1.15759068940147-π/2
    2.31518137880294-1.57079632675     		φ = 0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01955826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.120606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8141 KachelY 6042 -0.01955826 0.74438505 -1.120606 42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 8142 KachelY 6042 -0.01917476 0.74438505 -1.098633 42.650122
    Unten links KachelX 8141 KachelY + 1 6043 -0.01955826 0.74410295 -1.120606 42.633959
    Unten rechts KachelX + 1 8142 KachelY + 1 6043 -0.01917476 0.74410295 -1.098633 42.633959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74438505-0.74410295) × R
    0.000282099999999952 × 6371000     		dl = 1797.25909999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74438505-0.74410295) × R
    0.000282099999999952 × 6371000     		dr = 1797.25909999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01955826--0.01917476) × cos(0.74438505) × R
    0.000383500000000002 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 1797.04277649317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01955826--0.01917476) × cos(0.74410295) × R
    0.000383500000000002 × 0.735695781150223 × 6371000     		du = 1797.50968462506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74438505)-sin(0.74410295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735695781150223)×R²
    abs(-0.01917476--0.01955826)×0.0001910990220233×R²
    0.000383500000000002×0.0001910990220233×6371000²
    0.000383500000000002×0.0001910990220233×40589641000000     		ar = 3230171.08200612m²