Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8138 / 6043
↖ ↑ ↗
← N 42.633959°
W  1.186523°		 ← 1 797.46 m → N 42.633959°
W  1.164551°		 →
↑
1 797.71 m
↓
↑
1 797.71 m
↓
N 42.617791°
W  1.186523°		 ← 1 797.93 m →
3 231 728 m²		 N 42.617791°
W  1.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496734619140625 y=0.368865966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496734619140625 × 214)
    floor (0.496734619140625 × 16384)
    floor (8138.5)     		tx = 8138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368865966796875 × 214)
    floor (0.368865966796875 × 16384)
    floor (6043.5)     		ty = 6043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8138 / 6043 ti = "14/8138/6043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8138/6043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8138 ÷ 214
    8138 ÷ 16384     		x = 0.4967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6043 ÷ 214
    6043 ÷ 16384     		y = 0.36883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.006591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02070874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36883544921875 × 2 - 1) × π
    0.2623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.824131178268005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02070874} λ = -0.02070874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824131178268005))-π/2
    2×atan(2.27989907872142)-π/2
    2×1.15744963982378-π/2
    2.31489927964757-1.57079632675     		φ = 0.74410295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02070874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74410295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.633959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8138 KachelY 6043 -0.02070874 0.74410295 -1.186523 42.633959
    Oben rechts KachelX + 1 8139 KachelY 6043 -0.02032525 0.74410295 -1.164551 42.633959
    Unten links KachelX 8138 KachelY + 1 6044 -0.02070874 0.74382078 -1.186523 42.617791
    Unten rechts KachelX + 1 8139 KachelY + 1 6044 -0.02032525 0.74382078 -1.164551 42.617791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74410295-0.74382078) × R
    0.000282170000000082 × 6371000     		dl = 1797.70507000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74410295-0.74382078) × R
    0.000282170000000082 × 6371000     		dr = 1797.70507000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02070874--0.02032525) × cos(0.74410295) × R
    0.00038349 × 0.735695781150223 × 6371000     		do = 1797.46281344683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02070874--0.02032525) × cos(0.74382078) × R
    0.00038349 × 0.735886869022593 × 6371000     		du = 1797.92968216279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74410295)-sin(0.74382078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735695781150223-0.735886869022593)×R²
    abs(-0.02032525--0.02070874)×0.000191087872369322×R²
    0.00038349×0.000191087872369322×6371000²
    0.00038349×0.000191087872369322×40589641000000     		ar = 3231727.68044258m²