Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8137 / 5955
↖ ↑ ↗
← N 44.040219°
W  1.208496°		 ← 1 756.36 m → N 44.040219°
W  1.186523°		 →
↑
1 756.55 m
↓
↑
1 756.55 m
↓
N 44.024422°
W  1.208496°		 ← 1 756.82 m →
3 085 535 m²		 N 44.024422°
W  1.186523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496673583984375 y=0.363494873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496673583984375 × 214)
    floor (0.496673583984375 × 16384)
    floor (8137.5)     		tx = 8137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363494873046875 × 214)
    floor (0.363494873046875 × 16384)
    floor (5955.5)     		ty = 5955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8137 / 5955 ti = "14/8137/5955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8137/5955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8137 ÷ 214
    8137 ÷ 16384     		x = 0.49664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5955 ÷ 214
    5955 ÷ 16384     		y = 0.36346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.0067138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02109224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36346435546875 × 2 - 1) × π
    0.2730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.857878755600525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02109224} λ = -0.02109224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857878755600525))-π/2
    2×atan(2.3581531652927)-π/2
    2×1.16972157331001-π/2
    2.33944314662002-1.57079632675     		φ = 0.76864682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02109224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.208496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76864682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.040219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8137 KachelY 5955 -0.02109224 0.76864682 -1.208496 44.040219
    Oben rechts KachelX + 1 8138 KachelY 5955 -0.02070874 0.76864682 -1.186523 44.040219
    Unten links KachelX 8137 KachelY + 1 5956 -0.02109224 0.76837111 -1.208496 44.024422
    Unten rechts KachelX + 1 8138 KachelY + 1 5956 -0.02070874 0.76837111 -1.186523 44.024422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76864682-0.76837111) × R
    0.000275709999999929 × 6371000     		dl = 1756.54840999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76864682-0.76837111) × R
    0.000275709999999929 × 6371000     		dr = 1756.54840999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02109224--0.02070874) × cos(0.76864682) × R
    0.000383500000000002 × 0.71885200832405 × 6371000     		do = 1756.35565661998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02109224--0.02070874) × cos(0.76837111) × R
    0.000383500000000002 × 0.719043644428608 × 6371000     		du = 1756.82387699407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76864682)-sin(0.76837111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71885200832405-0.719043644428608)×R²
    abs(-0.02070874--0.02109224)×0.000191636104557191×R²
    0.000383500000000002×0.000191636104557191×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191636104557191×40589641000000     		ar = 3085534.98145225m²