Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8136 / 5956
↖ ↑ ↗
← N 44.024422°
W  1.230469°		 ← 1 756.78 m → N 44.024422°
W  1.208496°		 →
↑
1 757.06 m
↓
↑
1 757.06 m
↓
N 44.008620°
W  1.230469°		 ← 1 757.25 m →
3 087 172 m²		 N 44.008620°
W  1.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496612548828125 y=0.363555908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496612548828125 × 214)
    floor (0.496612548828125 × 16384)
    floor (8136.5)     		tx = 8136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363555908203125 × 214)
    floor (0.363555908203125 × 16384)
    floor (5956.5)     		ty = 5956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8136 / 5956 ti = "14/8136/5956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8136/5956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8136 ÷ 214
    8136 ÷ 16384     		x = 0.49658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5956 ÷ 214
    5956 ÷ 16384     		y = 0.363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49658203125 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    0.27294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.857495260403564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02147573} λ = -0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857495260403564))-π/2
    2×atan(2.35724899826305)-π/2
    2×1.16958371679059-π/2
    2.33916743358117-1.57079632675     		φ = 0.76837111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76837111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.024422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8136 KachelY 5956 -0.02147573 0.76837111 -1.230469 44.024422
    Oben rechts KachelX + 1 8137 KachelY 5956 -0.02109224 0.76837111 -1.208496 44.024422
    Unten links KachelX 8136 KachelY + 1 5957 -0.02147573 0.76809532 -1.230469 44.008620
    Unten rechts KachelX + 1 8137 KachelY + 1 5957 -0.02109224 0.76809532 -1.208496 44.008620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76837111-0.76809532) × R
    0.000275789999999998 × 6371000     		dl = 1757.05808999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76837111-0.76809532) × R
    0.000275789999999998 × 6371000     		dr = 1757.05808999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02147573--0.02109224) × cos(0.76837111) × R
    0.000383489999999997 × 0.719043644428608 × 6371000     		do = 1756.77806672346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02147573--0.02109224) × cos(0.76809532) × R
    0.000383489999999997 × 0.71923528145567 × 6371000     		du = 1757.24627714229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76837111)-sin(0.76809532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719043644428608-0.71923528145567)×R²
    abs(-0.02109224--0.02147573)×0.000191637027062264×R²
    0.000383489999999997×0.000191637027062264×6371000²
    0.000383489999999997×0.000191637027062264×40589641000000     		ar = 3087172.47049108m²