Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8135 / 5957
↖ ↑ ↗
← N 44.008620°
W  1.252442°		 ← 1 757.29 m → N 44.008620°
W  1.230469°		 →
↑
1 757.50 m
↓
↑
1 757.50 m
↓
N 43.992814°
W  1.252442°		 ← 1 757.76 m →
3 088 859 m²		 N 43.992814°
W  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496551513671875 y=0.363616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496551513671875 × 214)
    floor (0.496551513671875 × 16384)
    floor (8135.5)     		tx = 8135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363616943359375 × 214)
    floor (0.363616943359375 × 16384)
    floor (5957.5)     		ty = 5957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8135 / 5957 ti = "14/8135/5957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8135/5957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8135 ÷ 214
    8135 ÷ 16384     		x = 0.49652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5957 ÷ 214
    5957 ÷ 16384     		y = 0.36358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02185923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36358642578125 × 2 - 1) × π
    0.2728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.857111765206604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02185923} λ = -0.02185923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.857111765206604))-π/2
    2×atan(2.35634517791064)-π/2
    2×1.16944582352534-π/2
    2.33889164705068-1.57079632675     		φ = 0.76809532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02185923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.252442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76809532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.008620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8135 KachelY 5957 -0.02185923 0.76809532 -1.252442 44.008620
    Oben rechts KachelX + 1 8136 KachelY 5957 -0.02147573 0.76809532 -1.230469 44.008620
    Unten links KachelX 8135 KachelY + 1 5958 -0.02185923 0.76781946 -1.252442 43.992814
    Unten rechts KachelX + 1 8136 KachelY + 1 5958 -0.02147573 0.76781946 -1.230469 43.992814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76809532-0.76781946) × R
    0.000275860000000017 × 6371000     		dl = 1757.50406000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76809532-0.76781946) × R
    0.000275860000000017 × 6371000     		dr = 1757.50406000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02185923--0.02147573) × cos(0.76809532) × R
    0.000383500000000002 × 0.71923528145567 × 6371000     		do = 1757.2920996221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02185923--0.02147573) × cos(0.76781946) × R
    0.000383500000000002 × 0.71942691239738 × 6371000     		du = 1757.76030738191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76809532)-sin(0.76781946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71923528145567-0.71942691239738)×R²
    abs(-0.02147573--0.02185923)×0.000191630941710264×R²
    0.000383500000000002×0.000191630941710264×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191630941710264×40589641000000     		ar = 3088859.45779982m²