Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8135 / 5687
↖ ↑ ↗
← N 48.122101°
W  1.252442°		 ← 1 631 m → N 48.122101°
W  1.230469°		 →
↑
1 631.23 m
↓
↑
1 631.23 m
↓
N 48.107431°
W  1.252442°		 ← 1 631.47 m →
2 660 916 m²		 N 48.107431°
W  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496551513671875 y=0.347137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496551513671875 × 214)
    floor (0.496551513671875 × 16384)
    floor (8135.5)     		tx = 8135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347137451171875 × 214)
    floor (0.347137451171875 × 16384)
    floor (5687.5)     		ty = 5687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8135 / 5687 ti = "14/8135/5687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8135/5687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8135 ÷ 214
    8135 ÷ 16384     		x = 0.49652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5687 ÷ 214
    5687 ÷ 16384     		y = 0.34710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02185923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34710693359375 × 2 - 1) × π
    0.3057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.960655468385925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02185923} λ = -0.02185923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960655468385925))-π/2
    2×atan(2.61340891906076)-π/2
    2×1.20534271634792-π/2
    2.41068543269585-1.57079632675     		φ = 0.83988911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02185923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.252442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83988911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.122101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8135 KachelY 5687 -0.02185923 0.83988911 -1.252442 48.122101
    Oben rechts KachelX + 1 8136 KachelY 5687 -0.02147573 0.83988911 -1.230469 48.122101
    Unten links KachelX 8135 KachelY + 1 5688 -0.02185923 0.83963307 -1.252442 48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 8136 KachelY + 1 5688 -0.02147573 0.83963307 -1.230469 48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83988911-0.83963307) × R
    0.000256040000000013 × 6371000     		dl = 1631.23084000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83988911-0.83963307) × R
    0.000256040000000013 × 6371000     		dr = 1631.23084000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02185923--0.02147573) × cos(0.83988911) × R
    0.000383500000000002 × 0.667545395212953 × 6371000     		do = 1630.99931189782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02185923--0.02147573) × cos(0.83963307) × R
    0.000383500000000002 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 1631.4650437558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83988911)-sin(0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667545395212953-0.667736012802383)×R²
    abs(-0.02147573--0.02185923)×0.000190617589430064×R²
    0.000383500000000002×0.000190617589430064×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190617589430064×40589641000000     		ar = 2660916.25020956m²