Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8134 / 5950
↖ ↑ ↗
← N 44.119141°
W  1.274414°		 ← 1 753.97 m → N 44.119141°
W  1.252442°		 →
↑
1 754.19 m
↓
↑
1 754.19 m
↓
N 44.103366°
W  1.274414°		 ← 1 754.44 m →
3 077 207 m²		 N 44.103366°
W  1.252442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496490478515625 y=0.363189697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496490478515625 × 214)
    floor (0.496490478515625 × 16384)
    floor (8134.5)     		tx = 8134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363189697265625 × 214)
    floor (0.363189697265625 × 16384)
    floor (5950.5)     		ty = 5950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8134 / 5950 ti = "14/8134/5950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8134/5950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8134 ÷ 214
    8134 ÷ 16384     		x = 0.4964599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5950 ÷ 214
    5950 ÷ 16384     		y = 0.3631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4964599609375 × 2 - 1) × π
    -0.007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02224272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3631591796875 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02224272} λ = -0.02224272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859796231585327))-π/2
    2×atan(2.36267920525536)-π/2
    2×1.17041030469621-π/2
    2.34082060939241-1.57079632675     		φ = 0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02224272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8134 KachelY 5950 -0.02224272 0.77002428 -1.274414 44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 8135 KachelY 5950 -0.02185923 0.77002428 -1.252442 44.119141
    Unten links KachelX 8134 KachelY + 1 5951 -0.02224272 0.76974894 -1.274414 44.103366
    Unten rechts KachelX + 1 8135 KachelY + 1 5951 -0.02185923 0.76974894 -1.252442 44.103366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77002428-0.76974894) × R
    0.000275339999999957 × 6371000     		dl = 1754.19113999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77002428-0.76974894) × R
    0.000275339999999957 × 6371000     		dr = 1754.19113999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02224272--0.02185923) × cos(0.77002428) × R
    0.00038349 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 1753.96866975918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02224272--0.02185923) × cos(0.76974894) × R
    0.00038349 × 0.718085418696759 × 6371000     		du = 1754.43691544327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77002428)-sin(0.76974894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.718085418696759)×R²
    abs(-0.02185923--0.02224272)×0.000191651461018738×R²
    0.00038349×0.000191651461018738×6371000²
    0.00038349×0.000191651461018738×40589641000000     		ar = 3077207.01598531m²