Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8133 / 5950
↖ ↑ ↗
← N 44.119141°
W  1.296387°		 ← 1 754.01 m → N 44.119141°
W  1.274414°		 →
↑
1 754.19 m
↓
↑
1 754.19 m
↓
N 44.103366°
W  1.296387°		 ← 1 754.48 m →
3 077 287 m²		 N 44.103366°
W  1.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496429443359375 y=0.363189697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496429443359375 × 214)
    floor (0.496429443359375 × 16384)
    floor (8133.5)     		tx = 8133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363189697265625 × 214)
    floor (0.363189697265625 × 16384)
    floor (5950.5)     		ty = 5950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8133 / 5950 ti = "14/8133/5950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8133/5950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8133 ÷ 214
    8133 ÷ 16384     		x = 0.49639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5950 ÷ 214
    5950 ÷ 16384     		y = 0.3631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02262622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3631591796875 × 2 - 1) × π
    0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02262622} λ = -0.02262622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859796231585327))-π/2
    2×atan(2.36267920525536)-π/2
    2×1.17041030469621-π/2
    2.34082060939241-1.57079632675     		φ = 0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02262622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8133 KachelY 5950 -0.02262622 0.77002428 -1.296387 44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 8134 KachelY 5950 -0.02224272 0.77002428 -1.274414 44.119141
    Unten links KachelX 8133 KachelY + 1 5951 -0.02262622 0.76974894 -1.296387 44.103366
    Unten rechts KachelX + 1 8134 KachelY + 1 5951 -0.02224272 0.76974894 -1.274414 44.103366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77002428-0.76974894) × R
    0.000275339999999957 × 6371000     		dl = 1754.19113999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77002428-0.76974894) × R
    0.000275339999999957 × 6371000     		dr = 1754.19113999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02262622--0.02224272) × cos(0.77002428) × R
    0.000383499999999998 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 1754.01440677108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02262622--0.02224272) × cos(0.76974894) × R
    0.000383499999999998 × 0.718085418696759 × 6371000     		du = 1754.48266466528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77002428)-sin(0.76974894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.718085418696759)×R²
    abs(-0.02224272--0.02262622)×0.000191651461018738×R²
    0.000383499999999998×0.000191651461018738×6371000²
    0.000383499999999998×0.000191651461018738×40589641000000     		ar = 3077287.2581563m²