Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8127 / 5959
↖ ↑ ↗
← N 43.977005°
W  1.428223°		 ← 1 758.23 m → N 43.977005°
W  1.406250°		 →
↑
1 758.46 m
↓
↑
1 758.46 m
↓
N 43.961191°
W  1.428223°		 ← 1 758.70 m →
3 092 186 m²		 N 43.961191°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496063232421875 y=0.363739013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496063232421875 × 214)
    floor (0.496063232421875 × 16384)
    floor (8127.5)     		tx = 8127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363739013671875 × 214)
    floor (0.363739013671875 × 16384)
    floor (5959.5)     		ty = 5959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8127 / 5959 ti = "14/8127/5959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8127/5959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8127 ÷ 214
    8127 ÷ 16384     		x = 0.49603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5959 ÷ 214
    5959 ÷ 16384     		y = 0.36370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36370849609375 × 2 - 1) × π
    0.2725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.856344774812683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02492719} λ = -0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.856344774812683))-π/2
    2×atan(2.35453857670587)-π/2
    2×1.16916992676017-π/2
    2.33833985352035-1.57079632675     		φ = 0.76754353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76754353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.977005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8127 KachelY 5959 -0.02492719 0.76754353 -1.428223 43.977005
    Oben rechts KachelX + 1 8128 KachelY 5959 -0.02454369 0.76754353 -1.406250 43.977005
    Unten links KachelX 8127 KachelY + 1 5960 -0.02492719 0.76726752 -1.428223 43.961191
    Unten rechts KachelX + 1 8128 KachelY + 1 5960 -0.02454369 0.76726752 -1.406250 43.961191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76754353-0.76726752) × R
    0.000276009999999993 × 6371000     		dl = 1758.45970999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76754353-0.76726752) × R
    0.000276009999999993 × 6371000     		dr = 1758.45970999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02492719--0.02454369) × cos(0.76754353) × R
    0.000383499999999998 × 0.719618537197484 × 6371000     		do = 1758.22850013606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02492719--0.02454369) × cos(0.76726752) × R
    0.000383499999999998 × 0.719810162741409 × 6371000     		du = 1758.69669470758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76754353)-sin(0.76726752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719618537197484-0.719810162741409)×R²
    abs(-0.02454369--0.02492719)×0.000191625543924823×R²
    0.000383499999999998×0.000191625543924823×6371000²
    0.000383499999999998×0.000191625543924823×40589641000000     		ar = 3092185.64873901m²