Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8124 / 5948
↖ ↑ ↗
← N 44.150681°
W  1.494140°		 ← 1 753.03 m → N 44.150681°
W  1.472168°		 →
↑
1 753.30 m
↓
↑
1 753.30 m
↓
N 44.134913°
W  1.494140°		 ← 1 753.50 m →
3 074 000 m²		 N 44.134913°
W  1.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495880126953125 y=0.363067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495880126953125 × 214)
    floor (0.495880126953125 × 16384)
    floor (8124.5)     		tx = 8124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363067626953125 × 214)
    floor (0.363067626953125 × 16384)
    floor (5948.5)     		ty = 5948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8124 / 5948 ti = "14/8124/5948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8124/5948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8124 ÷ 214
    8124 ÷ 16384     		x = 0.495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5948 ÷ 214
    5948 ÷ 16384     		y = 0.363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363037109375 × 2 - 1) × π
    0.27392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.860563221979248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02607767} λ = -0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.860563221979248))-π/2
    2×atan(2.3644920526391)-π/2
    2×1.17068554000683-π/2
    2.34137108001365-1.57079632675     		φ = 0.77057475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77057475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.150681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8124 KachelY 5948 -0.02607767 0.77057475 -1.494140 44.150681
    Oben rechts KachelX + 1 8125 KachelY 5948 -0.02569418 0.77057475 -1.472168 44.150681
    Unten links KachelX 8124 KachelY + 1 5949 -0.02607767 0.77029955 -1.494140 44.134913
    Unten rechts KachelX + 1 8125 KachelY + 1 5949 -0.02569418 0.77029955 -1.472168 44.134913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77057475-0.77029955) × R
    0.00027519999999992 × 6371000     		dl = 1753.29919999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77057475-0.77029955) × R
    0.00027519999999992 × 6371000     		dr = 1753.29919999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02607767--0.02569418) × cos(0.77057475) × R
    0.00038349 × 0.717510447328143 × 6371000     		do = 1753.03213689164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02607767--0.02569418) × cos(0.77029955) × R
    0.00038349 × 0.717702110094196 × 6371000     		du = 1753.50041019635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77057475)-sin(0.77029955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717510447328143-0.717702110094196)×R²
    abs(-0.02569418--0.02607767)×0.00019166276605298×R²
    0.00038349×0.00019166276605298×6371000²
    0.00038349×0.00019166276605298×40589641000000     		ar = 3074000.37419169m²