Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8120 / 5816
↖ ↑ ↗
← N 46.195042°
W  1.582031°		 ← 1 691.21 m → N 46.195042°
W  1.560059°		 →
↑
1 691.44 m
↓
↑
1 691.44 m
↓
N 46.179830°
W  1.582031°		 ← 1 691.68 m →
2 860 966 m²		 N 46.179830°
W  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495635986328125 y=0.355010986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495635986328125 × 214)
    floor (0.495635986328125 × 16384)
    floor (8120.5)     		tx = 8120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355010986328125 × 214)
    floor (0.355010986328125 × 16384)
    floor (5816.5)     		ty = 5816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8120 / 5816 ti = "14/8120/5816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8120/5816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8120 ÷ 214
    8120 ÷ 16384     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5816 ÷ 214
    5816 ÷ 16384     		y = 0.35498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35498046875 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.911184587978027))-π/2
    2×atan(2.48726717574104)-π/2
    2×1.18852595483521-π/2
    2.37705190967041-1.57079632675     		φ = 0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8120 KachelY 5816 -0.02761165 0.80625558 -1.582031 46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 8121 KachelY 5816 -0.02722816 0.80625558 -1.560059 46.195042
    Unten links KachelX 8120 KachelY + 1 5817 -0.02761165 0.80599009 -1.582031 46.179830
    Unten rechts KachelX + 1 8121 KachelY + 1 5817 -0.02722816 0.80599009 -1.560059 46.179830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80625558-0.80599009) × R
    0.000265489999999979 × 6371000     		dl = 1691.43678999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80625558-0.80599009) × R
    0.000265489999999979 × 6371000     		dr = 1691.43678999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02722816) × cos(0.80625558) × R
    0.00038349 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 1691.20702898558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02722816) × cos(0.80599009) × R
    0.00038349 × 0.692397208206227 × 6371000     		du = 1691.67509964416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80625558)-sin(0.80599009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.692397208206227)×R²
    abs(-0.02722816--0.02761165)×0.000191579823640042×R²
    0.00038349×0.000191579823640042×6371000²
    0.00038349×0.000191579823640042×40589641000000     		ar = 2860965.66110268m²