Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8116 / 5732
↖ ↑ ↗
← N 47.457808°
W  1.669922°		 ← 1 651.94 m → N 47.457808°
W  1.647949°		 →
↑
1 652.19 m
↓
↑
1 652.19 m
↓
N 47.442950°
W  1.669922°		 ← 1 652.40 m →
2 729 703 m²		 N 47.442950°
W  1.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495391845703125 y=0.349884033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495391845703125 × 214)
    floor (0.495391845703125 × 16384)
    floor (8116.5)     		tx = 8116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349884033203125 × 214)
    floor (0.349884033203125 × 16384)
    floor (5732.5)     		ty = 5732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8116 / 5732 ti = "14/8116/5732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8116/5732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8116 ÷ 214
    8116 ÷ 16384     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5732 ÷ 214
    5732 ÷ 16384     		y = 0.349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349853515625 × 2 - 1) × π
    0.30029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.943398184522705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943398184522705))-π/2
    2×atan(2.56869550521544)-π/2
    2×1.19954567070966-π/2
    2.39909134141931-1.57079632675     		φ = 0.82829501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82829501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.457808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8116 KachelY 5732 -0.02914563 0.82829501 -1.669922 47.457808
    Oben rechts KachelX + 1 8117 KachelY 5732 -0.02876214 0.82829501 -1.647949 47.457808
    Unten links KachelX 8116 KachelY + 1 5733 -0.02914563 0.82803568 -1.669922 47.442950
    Unten rechts KachelX + 1 8117 KachelY + 1 5733 -0.02876214 0.82803568 -1.647949 47.442950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82829501-0.82803568) × R
    0.000259330000000002 × 6371000     		dl = 1652.19143000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82829501-0.82803568) × R
    0.000259330000000002 × 6371000     		dr = 1652.19143000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02876214) × cos(0.82829501) × R
    0.00038349 × 0.676132944141508 × 6371000     		do = 1651.93800913278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02876214) × cos(0.82803568) × R
    0.00038349 × 0.676323990468436 × 6371000     		du = 1652.4047763443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82829501)-sin(0.82803568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676132944141508-0.676323990468436)×R²
    abs(-0.02876214--0.02914563)×0.000191046326928124×R²
    0.00038349×0.000191046326928124×6371000²
    0.00038349×0.000191046326928124×40589641000000     		ar = 2729703.43127282m²