Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8116 / 5642
↖ ↑ ↗
← N 48.777913°
W  1.669922°		 ← 1 610.03 m → N 48.777913°
W  1.647949°		 →
↑
1 610.27 m
↓
↑
1 610.27 m
↓
N 48.763431°
W  1.669922°		 ← 1 610.49 m →
2 592 955 m²		 N 48.763431°
W  1.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495391845703125 y=0.344390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495391845703125 × 214)
    floor (0.495391845703125 × 16384)
    floor (8116.5)     		tx = 8116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344390869140625 × 214)
    floor (0.344390869140625 × 16384)
    floor (5642.5)     		ty = 5642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8116 / 5642 ti = "14/8116/5642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8116/5642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8116 ÷ 214
    8116 ÷ 16384     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5642 ÷ 214
    5642 ÷ 16384     		y = 0.3443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    0.311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.977912752249146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977912752249146))-π/2
    2×atan(2.65890066158444)-π/2
    2×1.21106575330526-π/2
    2.42213150661052-1.57079632675     		φ = 0.85133518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85133518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.777913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8116 KachelY 5642 -0.02914563 0.85133518 -1.669922 48.777913
    Oben rechts KachelX + 1 8117 KachelY 5642 -0.02876214 0.85133518 -1.647949 48.777913
    Unten links KachelX 8116 KachelY + 1 5643 -0.02914563 0.85108243 -1.669922 48.763431
    Unten rechts KachelX + 1 8117 KachelY + 1 5643 -0.02876214 0.85108243 -1.647949 48.763431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85133518-0.85108243) × R
    0.000252750000000024 × 6371000     		dl = 1610.27025000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85133518-0.85108243) × R
    0.000252750000000024 × 6371000     		dr = 1610.27025000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02876214) × cos(0.85133518) × R
    0.00038349 × 0.658979463333936 × 6371000     		do = 1610.02837112374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02876214) × cos(0.85108243) × R
    0.00038349 × 0.659169550958705 × 6371000     		du = 1610.49279601997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85133518)-sin(0.85108243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658979463333936-0.659169550958705)×R²
    abs(-0.02876214--0.02914563)×0.000190087624769242×R²
    0.00038349×0.000190087624769242×6371000²
    0.00038349×0.000190087624769242×40589641000000     		ar = 2592954.72627754m²