Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8115 / 5747
↖ ↑ ↗
← N 47.234489°
W  1.691895°		 ← 1 658.98 m → N 47.234489°
W  1.669922°		 →
↑
1 659.20 m
↓
↑
1 659.20 m
↓
N 47.219568°
W  1.691895°		 ← 1 659.45 m →
2 752 974 m²		 N 47.219568°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495330810546875 y=0.350799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495330810546875 × 214)
    floor (0.495330810546875 × 16384)
    floor (8115.5)     		tx = 8115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350799560546875 × 214)
    floor (0.350799560546875 × 16384)
    floor (5747.5)     		ty = 5747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8115 / 5747 ti = "14/8115/5747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8115/5747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8115 ÷ 214
    8115 ÷ 16384     		x = 0.49530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5747 ÷ 214
    5747 ÷ 16384     		y = 0.35076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02952913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35076904296875 × 2 - 1) × π
    0.2984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02952913} λ = -0.02952913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937645756568298))-π/2
    2×atan(2.55396168762597)-π/2
    2×1.1975968457059-π/2
    2.39519369141181-1.57079632675     		φ = 0.82439736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02952913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.691895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82439736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.234489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8115 KachelY 5747 -0.02952913 0.82439736 -1.691895 47.234489
    Oben rechts KachelX + 1 8116 KachelY 5747 -0.02914563 0.82439736 -1.669922 47.234489
    Unten links KachelX 8115 KachelY + 1 5748 -0.02952913 0.82413693 -1.691895 47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 8116 KachelY + 1 5748 -0.02914563 0.82413693 -1.669922 47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82439736-0.82413693) × R
    0.000260429999999978 × 6371000     		dl = 1659.19952999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82439736-0.82413693) × R
    0.000260429999999978 × 6371000     		dr = 1659.19952999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02952913--0.02914563) × cos(0.82439736) × R
    0.000383500000000002 × 0.67899951025509 × 6371000     		do = 1658.9849049168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02952913--0.02914563) × cos(0.82413693) × R
    0.000383500000000002 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 1659.45198333877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82439736)-sin(0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67899951025509-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.02914563--0.02952913)×0.000191168719393953×R²
    0.000383500000000002×0.000191168719393953×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191168719393953×40589641000000     		ar = 2752974.47822264m²