Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8114 / 5810
↖ ↑ ↗
← N 46.286224°
W  1.713867°		 ← 1 688.44 m → N 46.286224°
W  1.691895°		 →
↑
1 688.70 m
↓
↑
1 688.70 m
↓
N 46.271037°
W  1.713867°		 ← 1 688.91 m →
2 851 664 m²		 N 46.271037°
W  1.691895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495269775390625 y=0.354644775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495269775390625 × 214)
    floor (0.495269775390625 × 16384)
    floor (8114.5)     		tx = 8114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354644775390625 × 214)
    floor (0.354644775390625 × 16384)
    floor (5810.5)     		ty = 5810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8114 / 5810 ti = "14/8114/5810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8114/5810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8114 ÷ 214
    8114 ÷ 16384     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5810 ÷ 214
    5810 ÷ 16384     		y = 0.3546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3546142578125 × 2 - 1) × π
    0.290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.91348555915979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91348555915979))-π/2
    2×atan(2.49299689526553)-π/2
    2×1.18932166623124-π/2
    2.37864333246247-1.57079632675     		φ = 0.80784701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80784701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.286224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8114 KachelY 5810 -0.02991263 0.80784701 -1.713867 46.286224
    Oben rechts KachelX + 1 8115 KachelY 5810 -0.02952913 0.80784701 -1.691895 46.286224
    Unten links KachelX 8114 KachelY + 1 5811 -0.02991263 0.80758195 -1.713867 46.271037
    Unten rechts KachelX + 1 8115 KachelY + 1 5811 -0.02952913 0.80758195 -1.691895 46.271037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80784701-0.80758195) × R
    0.000265060000000039 × 6371000     		dl = 1688.69726000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80784701-0.80758195) × R
    0.000265060000000039 × 6371000     		dr = 1688.69726000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02952913) × cos(0.80784701) × R
    0.000383499999999998 × 0.691056216752417 × 6371000     		do = 1688.44279668251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02952913) × cos(0.80758195) × R
    0.000383499999999998 × 0.691247778111143 × 6371000     		du = 1688.91083443172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80784701)-sin(0.80758195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691056216752417-0.691247778111143)×R²
    abs(-0.02952913--0.02991263)×0.000191561358726×R²
    0.000383499999999998×0.000191561358726×6371000²
    0.000383499999999998×0.000191561358726×40589641000000     		ar = 2851663.9281526m²