Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8113 / 5641
↖ ↑ ↗
← N 48.792390°
W  1.735840°		 ← 1 609.56 m → N 48.792390°
W  1.713867°		 →
↑
1 609.82 m
↓
↑
1 609.82 m
↓
N 48.777913°
W  1.735840°		 ← 1 610.03 m →
2 591 489 m²		 N 48.777913°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495208740234375 y=0.344329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495208740234375 × 214)
    floor (0.495208740234375 × 16384)
    floor (8113.5)     		tx = 8113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344329833984375 × 214)
    floor (0.344329833984375 × 16384)
    floor (5641.5)     		ty = 5641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8113 / 5641 ti = "14/8113/5641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8113/5641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8113 ÷ 214
    8113 ÷ 16384     		x = 0.49517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5641 ÷ 214
    5641 ÷ 16384     		y = 0.34429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34429931640625 × 2 - 1) × π
    0.3114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.978296247446106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03029612} λ = -0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978296247446106))-π/2
    2×atan(2.65992053276271)-π/2
    2×1.21119209281129-π/2
    2.42238418562258-1.57079632675     		φ = 0.85158786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85158786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.792390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8113 KachelY 5641 -0.03029612 0.85158786 -1.735840 48.792390
    Oben rechts KachelX + 1 8114 KachelY 5641 -0.02991263 0.85158786 -1.713867 48.792390
    Unten links KachelX 8113 KachelY + 1 5642 -0.03029612 0.85133518 -1.735840 48.777913
    Unten rechts KachelX + 1 8114 KachelY + 1 5642 -0.02991263 0.85133518 -1.713867 48.777913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85158786-0.85133518) × R
    0.000252680000000005 × 6371000     		dl = 1609.82428000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85158786-0.85133518) × R
    0.000252680000000005 × 6371000     		dr = 1609.82428000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03029612--0.02991263) × cos(0.85158786) × R
    0.00038349 × 0.658789386274791 × 6371000     		do = 1609.56397204159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03029612--0.02991263) × cos(0.85133518) × R
    0.00038349 × 0.658979463333936 × 6371000     		du = 1610.02837112374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85158786)-sin(0.85133518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658789386274791-0.658979463333936)×R²
    abs(-0.02991263--0.03029612)×0.000190077059144755×R²
    0.00038349×0.000190077059144755×6371000²
    0.00038349×0.000190077059144755×40589641000000     		ar = 2591488.9766524m²