Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8112 / 5741
↖ ↑ ↗
← N 47.323930°
W  1.757813°		 ← 1 656.18 m → N 47.323930°
W  1.735840°		 →
↑
1 656.40 m
↓
↑
1 656.40 m
↓
N 47.309034°
W  1.757813°		 ← 1 656.65 m →
2 743 682 m²		 N 47.309034°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495147705078125 y=0.350433349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495147705078125 × 214)
    floor (0.495147705078125 × 16384)
    floor (8112.5)     		tx = 8112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350433349609375 × 214)
    floor (0.350433349609375 × 16384)
    floor (5741.5)     		ty = 5741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8112 / 5741 ti = "14/8112/5741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8112/5741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8112 ÷ 214
    8112 ÷ 16384     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5741 ÷ 214
    5741 ÷ 16384     		y = 0.35040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35040283203125 × 2 - 1) × π
    0.2991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.939946727750061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.939946727750061))-π/2
    2×atan(2.55984504599178)-π/2
    2×1.19837736511256-π/2
    2.39675473022513-1.57079632675     		φ = 0.82595840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82595840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.323930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8112 KachelY 5741 -0.03067962 0.82595840 -1.757813 47.323930
    Oben rechts KachelX + 1 8113 KachelY 5741 -0.03029612 0.82595840 -1.735840 47.323930
    Unten links KachelX 8112 KachelY + 1 5742 -0.03067962 0.82569841 -1.757813 47.309034
    Unten rechts KachelX + 1 8113 KachelY + 1 5742 -0.03029612 0.82569841 -1.735840 47.309034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82595840-0.82569841) × R
    0.000259989999999988 × 6371000     		dl = 1656.39628999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82595840-0.82569841) × R
    0.000259989999999988 × 6371000     		dr = 1656.39628999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(0.82595840) × R
    0.000383500000000002 × 0.677852663499477 × 6371000     		do = 1656.18283889601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(0.82569841) × R
    0.000383500000000002 × 0.678043784656874 × 6371000     		du = 1656.64980111078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82595840)-sin(0.82569841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677852663499477-0.678043784656874)×R²
    abs(-0.03029612--0.03067962)×0.000191121157396945×R²
    0.000383500000000002×0.000191121157396945×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191121157396945×40589641000000     		ar = 2743681.86260289m²