Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8112 / 5678
↖ ↑ ↗
← N 48.253941°
W  1.757813°		 ← 1 626.81 m → N 48.253941°
W  1.735840°		 →
↑
1 627.03 m
↓
↑
1 627.03 m
↓
N 48.239309°
W  1.757813°		 ← 1 627.27 m →
2 647 239 m²		 N 48.239309°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495147705078125 y=0.346588134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495147705078125 × 214)
    floor (0.495147705078125 × 16384)
    floor (8112.5)     		tx = 8112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346588134765625 × 214)
    floor (0.346588134765625 × 16384)
    floor (5678.5)     		ty = 5678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8112 / 5678 ti = "14/8112/5678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8112/5678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8112 ÷ 214
    8112 ÷ 16384     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5678 ÷ 214
    5678 ÷ 16384     		y = 0.3465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3465576171875 × 2 - 1) × π
    0.306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.964106925158569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.964106925158569))-π/2
    2×atan(2.62244457108552)-π/2
    2×1.20649323840699-π/2
    2.41298647681398-1.57079632675     		φ = 0.84219015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84219015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.253941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8112 KachelY 5678 -0.03067962 0.84219015 -1.757813 48.253941
    Oben rechts KachelX + 1 8113 KachelY 5678 -0.03029612 0.84219015 -1.735840 48.253941
    Unten links KachelX 8112 KachelY + 1 5679 -0.03067962 0.84193477 -1.757813 48.239309
    Unten rechts KachelX + 1 8113 KachelY + 1 5679 -0.03029612 0.84193477 -1.735840 48.239309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84219015-0.84193477) × R
    0.000255379999999916 × 6371000     		dl = 1627.02597999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84219015-0.84193477) × R
    0.000255379999999916 × 6371000     		dr = 1627.02597999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(0.84219015) × R
    0.000383500000000002 × 0.665830346188068 × 6371000     		do = 1626.80896948887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03029612) × cos(0.84193477) × R
    0.000383500000000002 × 0.666020864302854 × 6371000     		du = 1627.27445830259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84219015)-sin(0.84193477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665830346188068-0.666020864302854)×R²
    abs(-0.03029612--0.03067962)×0.000190518114786431×R²
    0.000383500000000002×0.000190518114786431×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190518114786431×40589641000000     		ar = 2647239.15343894m²