Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8111 / 5809
↖ ↑ ↗
← N 46.301406°
W  1.779785°		 ← 1 687.93 m → N 46.301406°
W  1.757813°		 →
↑
1 688.19 m
↓
↑
1 688.19 m
↓
N 46.286224°
W  1.779785°		 ← 1 688.40 m →
2 849 939 m²		 N 46.286224°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495086669921875 y=0.354583740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495086669921875 × 214)
    floor (0.495086669921875 × 16384)
    floor (8111.5)     		tx = 8111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354583740234375 × 214)
    floor (0.354583740234375 × 16384)
    floor (5809.5)     		ty = 5809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8111 / 5809 ti = "14/8111/5809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8111/5809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8111 ÷ 214
    8111 ÷ 16384     		x = 0.49505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5809 ÷ 214
    5809 ÷ 16384     		y = 0.35455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35455322265625 × 2 - 1) × π
    0.2908935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.91386905435675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03106311} λ = -0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.91386905435675))-π/2
    2×atan(2.49395313094508)-π/2
    2×1.18945415623692-π/2
    2.37890831247383-1.57079632675     		φ = 0.80811199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80811199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.301406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8111 KachelY 5809 -0.03106311 0.80811199 -1.779785 46.301406
    Oben rechts KachelX + 1 8112 KachelY 5809 -0.03067962 0.80811199 -1.757813 46.301406
    Unten links KachelX 8111 KachelY + 1 5810 -0.03106311 0.80784701 -1.779785 46.286224
    Unten rechts KachelX + 1 8112 KachelY + 1 5810 -0.03067962 0.80784701 -1.757813 46.286224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80811199-0.80784701) × R
    0.00026497999999997 × 6371000     		dl = 1688.18757999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80811199-0.80784701) × R
    0.00026497999999997 × 6371000     		dr = 1688.18757999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03106311--0.03067962) × cos(0.80811199) × R
    0.00038349 × 0.690864664681021 × 6371000     		do = 1687.93076663706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03106311--0.03067962) × cos(0.80784701) × R
    0.00038349 × 0.691056216752417 × 6371000     		du = 1688.39876949095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80811199)-sin(0.80784701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690864664681021-0.691056216752417)×R²
    abs(-0.03067962--0.03106311)×0.000191552071396095×R²
    0.00038349×0.000191552071396095×6371000²
    0.00038349×0.000191552071396095×40589641000000     		ar = 2849938.81111471m²