Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8111 / 5679
↖ ↑ ↗
← N 48.239309°
W  1.779785°		 ← 1 627.23 m → N 48.239309°
W  1.757813°		 →
↑
1 627.47 m
↓
↑
1 627.47 m
↓
N 48.224673°
W  1.779785°		 ← 1 627.70 m →
2 648 653 m²		 N 48.224673°
W  1.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495086669921875 y=0.346649169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495086669921875 × 214)
    floor (0.495086669921875 × 16384)
    floor (8111.5)     		tx = 8111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346649169921875 × 214)
    floor (0.346649169921875 × 16384)
    floor (5679.5)     		ty = 5679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8111 / 5679 ti = "14/8111/5679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8111/5679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8111 ÷ 214
    8111 ÷ 16384     		x = 0.49505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5679 ÷ 214
    5679 ÷ 16384     		y = 0.34661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34661865234375 × 2 - 1) × π
    0.3067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.963723429961609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03106311} λ = -0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963723429961609))-π/2
    2×atan(2.62143906900315)-π/2
    2×1.20636554877165-π/2
    2.4127310975433-1.57079632675     		φ = 0.84193477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84193477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.239309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8111 KachelY 5679 -0.03106311 0.84193477 -1.779785 48.239309
    Oben rechts KachelX + 1 8112 KachelY 5679 -0.03067962 0.84193477 -1.757813 48.239309
    Unten links KachelX 8111 KachelY + 1 5680 -0.03106311 0.84167932 -1.779785 48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 8112 KachelY + 1 5680 -0.03067962 0.84167932 -1.757813 48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84193477-0.84167932) × R
    0.000255450000000046 × 6371000     		dl = 1627.47195000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84193477-0.84167932) × R
    0.000255450000000046 × 6371000     		dr = 1627.47195000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03106311--0.03067962) × cos(0.84193477) × R
    0.00038349 × 0.666020864302854 × 6371000     		do = 1627.23202611332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03106311--0.03067962) × cos(0.84167932) × R
    0.00038349 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 1627.69752420691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84193477)-sin(0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666020864302854-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.03067962--0.03106311)×0.000190526881017505×R²
    0.00038349×0.000190526881017505×6371000²
    0.00038349×0.000190526881017505×40589641000000     		ar = 2648653.28558957m²