Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8109 / 5681
↖ ↑ ↗
← N 48.210032°
W  1.823730°		 ← 1 628.16 m → N 48.210032°
W  1.801758°		 →
↑
1 628.43 m
↓
↑
1 628.43 m
↓
N 48.195387°
W  1.823730°		 ← 1 628.63 m →
2 651 725 m²		 N 48.195387°
W  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494964599609375 y=0.346771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494964599609375 × 214)
    floor (0.494964599609375 × 16384)
    floor (8109.5)     		tx = 8109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346771240234375 × 214)
    floor (0.346771240234375 × 16384)
    floor (5681.5)     		ty = 5681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8109 / 5681 ti = "14/8109/5681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8109/5681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8109 ÷ 214
    8109 ÷ 16384     		x = 0.49493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5681 ÷ 214
    5681 ÷ 16384     		y = 0.34674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.0101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03183010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34674072265625 × 2 - 1) × π
    0.3065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962956439567688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03183010} λ = -0.03183010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962956439567688))-π/2
    2×atan(2.61942922128445)-π/2
    2×1.20611005990181-π/2
    2.41222011980362-1.57079632675     		φ = 0.84142379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03183010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.823730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84142379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.210032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8109 KachelY 5681 -0.03183010 0.84142379 -1.823730 48.210032
    Oben rechts KachelX + 1 8110 KachelY 5681 -0.03144661 0.84142379 -1.801758 48.210032
    Unten links KachelX 8109 KachelY + 1 5682 -0.03183010 0.84116819 -1.823730 48.195387
    Unten rechts KachelX + 1 8110 KachelY + 1 5682 -0.03144661 0.84116819 -1.801758 48.195387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84142379-0.84116819) × R
    0.000255600000000022 × 6371000     		dl = 1628.42760000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84142379-0.84116819) × R
    0.000255600000000022 × 6371000     		dr = 1628.42760000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03183010--0.03144661) × cos(0.84142379) × R
    0.00038349 × 0.66640193423888 × 6371000     		do = 1628.16306181704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03183010--0.03144661) × cos(0.84116819) × R
    0.00038349 × 0.666592485960353 × 6371000     		du = 1628.6286206012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84142379)-sin(0.84116819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66640193423888-0.666592485960353)×R²
    abs(-0.03144661--0.03183010)×0.000190551721472865×R²
    0.00038349×0.000190551721472865×6371000²
    0.00038349×0.000190551721472865×40589641000000     		ar = 2651724.74598706m²