Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8108 / 5740
↖ ↑ ↗
← N 47.338823°
W  1.845703°		 ← 1 655.72 m → N 47.338823°
W  1.823730°		 →
↑
1 655.95 m
↓
↑
1 655.95 m
↓
N 47.323930°
W  1.845703°		 ← 1 656.18 m →
2 742 170 m²		 N 47.323930°
W  1.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494903564453125 y=0.350372314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494903564453125 × 214)
    floor (0.494903564453125 × 16384)
    floor (8108.5)     		tx = 8108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350372314453125 × 214)
    floor (0.350372314453125 × 16384)
    floor (5740.5)     		ty = 5740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8108 / 5740 ti = "14/8108/5740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8108/5740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8108 ÷ 214
    8108 ÷ 16384     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5740 ÷ 214
    5740 ÷ 16384     		y = 0.350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350341796875 × 2 - 1) × π
    0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.940330222947022))-π/2
    2×atan(2.56082692253231)-π/2
    2×1.19850732340957-π/2
    2.39701464681914-1.57079632675     		φ = 0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8108 KachelY 5740 -0.03221360 0.82621832 -1.845703 47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 8109 KachelY 5740 -0.03183010 0.82621832 -1.823730 47.338823
    Unten links KachelX 8108 KachelY + 1 5741 -0.03221360 0.82595840 -1.845703 47.323930
    Unten rechts KachelX + 1 8109 KachelY + 1 5741 -0.03183010 0.82595840 -1.823730 47.323930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82621832-0.82595840) × R
    0.000259919999999969 × 6371000     		dl = 1655.9503199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82621832-0.82595840) × R
    0.000259919999999969 × 6371000     		dr = 1655.9503199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03183010) × cos(0.82621832) × R
    0.000383500000000002 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 1655.71589050254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03183010) × cos(0.82595840) × R
    0.000383500000000002 × 0.677852663499477 × 6371000     		du = 1656.18283889601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82621832)-sin(0.82595840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677852663499477)×R²
    abs(-0.03183010--0.03221360)×0.000191115500534633×R²
    0.000383500000000002×0.000191115500534633×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191115500534633×40589641000000     		ar = 2742169.8958153m²