Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8106 / 5735
N 47.413220°
W  1.889649°
← 1 653.38 m → N 47.413220°
W  1.867676°

1 653.59 m

1 653.59 m
N 47.398349°
W  1.889649°
← 1 653.85 m →
2 734 406 m²
N 47.398349°
W  1.867676°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494781494140625 y=0.350067138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494781494140625 × 214)
    floor (0.494781494140625 × 16384)
    floor (8106.5)
    tx = 8106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350067138671875 × 214)
    floor (0.350067138671875 × 16384)
    floor (5735.5)
    ty = 5735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8106 / 5735 ti = "14/8106/5735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8106/5735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8106 ÷ 214
    8106 ÷ 16384
    x = 0.4947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5735 ÷ 214
    5735 ÷ 16384
    y = 0.35003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535
    Λ = -0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.35003662109375 × 2 - 1) × π
    0.2999267578125 × 3.1415926535
    Φ = 0.942247698931824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03298059} λ = -0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942247698931824))-π/2
    2×atan(2.56574195738222)-π/2
    2×1.19915656525582-π/2
    2.39831313051163-1.57079632675
    φ = 0.82751680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82751680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.413220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8106 KachelY 5735 -0.03298059 0.82751680 -1.889649 47.413220
    Oben rechts KachelX + 1 8107 KachelY 5735 -0.03259709 0.82751680 -1.867676 47.413220
    Unten links KachelX 8106 KachelY + 1 5736 -0.03298059 0.82725725 -1.889649 47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 8107 KachelY + 1 5736 -0.03259709 0.82725725 -1.867676 47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.82751680-0.82725725) × R
    0.000259549999999997 × 6371000
    dl = 1653.59304999998m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.82751680-0.82725725) × R
    0.000259549999999997 × 6371000
    dr = 1653.59304999998m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03298059--0.03259709) × cos(0.82751680) × R
    0.000383499999999995 × 0.676706108632656 × 6371000
    do = 1653.38148604081m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03298059--0.03259709) × cos(0.82725725) × R
    0.000383499999999995 × 0.676897180367001 × 6371000
    du = 1653.84832750129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.82751680)-sin(0.82725725))×
    abs(λ12)×abs(0.676706108632656-0.676897180367001)×
    abs(-0.03259709--0.03298059)×0.000191071734345294×
    0.000383499999999995×0.000191071734345294×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191071734345294×40589641000000
    ar = 2734406.13256368m²