Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8104 / 5944
↖ ↑ ↗
← N 44.213710°
W  1.933594°		 ← 1 751.20 m → N 44.213710°
W  1.911621°		 →
↑
1 751.39 m
↓
↑
1 751.39 m
↓
N 44.197959°
W  1.933594°		 ← 1 751.67 m →
3 067 449 m²		 N 44.197959°
W  1.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494659423828125 y=0.362823486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494659423828125 × 214)
    floor (0.494659423828125 × 16384)
    floor (8104.5)     		tx = 8104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362823486328125 × 214)
    floor (0.362823486328125 × 16384)
    floor (5944.5)     		ty = 5944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8104 / 5944 ti = "14/8104/5944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8104/5944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8104 ÷ 214
    8104 ÷ 16384     		x = 0.49462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5944 ÷ 214
    5944 ÷ 16384     		y = 0.36279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03374758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36279296875 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03374758} λ = -0.03374758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.86209720276709))-π/2
    2×atan(2.36812192138352)-π/2
    2×1.17123556961159-π/2
    2.34247113922318-1.57079632675     		φ = 0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03374758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8104 KachelY 5944 -0.03374758 0.77167481 -1.933594 44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 8105 KachelY 5944 -0.03336408 0.77167481 -1.911621 44.213710
    Unten links KachelX 8104 KachelY + 1 5945 -0.03374758 0.77139991 -1.933594 44.197959
    Unten rechts KachelX + 1 8105 KachelY + 1 5945 -0.03336408 0.77139991 -1.911621 44.197959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77167481-0.77139991) × R
    0.000274900000000078 × 6371000     		dl = 1751.3879000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77167481-0.77139991) × R
    0.000274900000000078 × 6371000     		dr = 1751.3879000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03374758--0.03336408) × cos(0.77167481) × R
    0.000383500000000002 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 1751.20464088395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03374758--0.03336408) × cos(0.77139991) × R
    0.000383500000000002 × 0.716935439785453 × 6371000     		du = 1751.67294591585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77167481)-sin(0.77139991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.716935439785453)×R²
    abs(-0.03336408--0.03374758)×0.00019167075382609×R²
    0.000383500000000002×0.00019167075382609×6371000²
    0.000383500000000002×0.00019167075382609×40589641000000     		ar = 3067448.72967019m²