Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8103 / 5736
↖ ↑ ↗
← N 47.398349°
W  1.955566°		 ← 1 653.81 m → N 47.398349°
W  1.933594°		 →
↑
1 654.04 m
↓
↑
1 654.04 m
↓
N 47.383474°
W  1.955566°		 ← 1 654.27 m →
2 735 844 m²		 N 47.383474°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494598388671875 y=0.350128173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494598388671875 × 214)
    floor (0.494598388671875 × 16384)
    floor (8103.5)     		tx = 8103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350128173828125 × 214)
    floor (0.350128173828125 × 16384)
    floor (5736.5)     		ty = 5736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8103 / 5736 ti = "14/8103/5736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8103/5736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8103 ÷ 214
    8103 ÷ 16384     		x = 0.49456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5736 ÷ 214
    5736 ÷ 16384     		y = 0.35009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.0108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03413107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35009765625 × 2 - 1) × π
    0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03413107} λ = -0.03413107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941864203734863))-π/2
    2×atan(2.5647581963108)-π/2
    2×1.19902679016648-π/2
    2.39805358033296-1.57079632675     		φ = 0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03413107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8103 KachelY 5736 -0.03413107 0.82725725 -1.955566 47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 8104 KachelY 5736 -0.03374758 0.82725725 -1.933594 47.398349
    Unten links KachelX 8103 KachelY + 1 5737 -0.03413107 0.82699763 -1.955566 47.383474
    Unten rechts KachelX + 1 8104 KachelY + 1 5737 -0.03374758 0.82699763 -1.933594 47.383474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82725725-0.82699763) × R
    0.000259620000000016 × 6371000     		dl = 1654.0390200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82725725-0.82699763) × R
    0.000259620000000016 × 6371000     		dr = 1654.0390200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03413107--0.03374758) × cos(0.82725725) × R
    0.00038349 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 1653.80520238196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03413107--0.03374758) × cos(0.82699763) × R
    0.00038349 × 0.677088258014483 × 6371000     		du = 1654.27204611632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82725725)-sin(0.82699763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.677088258014483)×R²
    abs(-0.03374758--0.03413107)×0.000191077647482163×R²
    0.00038349×0.000191077647482163×6371000²
    0.00038349×0.000191077647482163×40589641000000     		ar = 2735844.44046254m²