Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8100 / 5733
↖ ↑ ↗
← N 47.442950°
W  2.021484°		 ← 1 652.45 m → N 47.442950°
W  1.999512°		 →
↑
1 652.64 m
↓
↑
1 652.64 m
↓
N 47.428087°
W  2.021484°		 ← 1 652.91 m →
2 731 283 m²		 N 47.428087°
W  1.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494415283203125 y=0.349945068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494415283203125 × 214)
    floor (0.494415283203125 × 16384)
    floor (8100.5)     		tx = 8100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349945068359375 × 214)
    floor (0.349945068359375 × 16384)
    floor (5733.5)     		ty = 5733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8100 / 5733 ti = "14/8100/5733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8100/5733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8100 ÷ 214
    8100 ÷ 16384     		x = 0.494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5733 ÷ 214
    5733 ÷ 16384     		y = 0.34991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34991455078125 × 2 - 1) × π
    0.3001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.943014689325745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03528156} λ = -0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943014689325745))-π/2
    2×atan(2.56771061168977)-π/2
    2×1.19941600552579-π/2
    2.39883201105158-1.57079632675     		φ = 0.82803568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82803568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.442950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8100 KachelY 5733 -0.03528156 0.82803568 -2.021484 47.442950
    Oben rechts KachelX + 1 8101 KachelY 5733 -0.03489806 0.82803568 -1.999512 47.442950
    Unten links KachelX 8100 KachelY + 1 5734 -0.03528156 0.82777628 -2.021484 47.428087
    Unten rechts KachelX + 1 8101 KachelY + 1 5734 -0.03489806 0.82777628 -1.999512 47.428087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82803568-0.82777628) × R
    0.000259400000000021 × 6371000     		dl = 1652.63740000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82803568-0.82777628) × R
    0.000259400000000021 × 6371000     		dr = 1652.63740000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03528156--0.03489806) × cos(0.82803568) × R
    0.000383499999999995 × 0.676323990468436 × 6371000     		do = 1652.44786494571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03528156--0.03489806) × cos(0.82777628) × R
    0.000383499999999995 × 0.676515042861209 × 6371000     		du = 1652.91465914935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82803568)-sin(0.82777628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676323990468436-0.676515042861209)×R²
    abs(-0.03489806--0.03528156)×0.000191052392772839×R²
    0.000383499999999995×0.000191052392772839×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191052392772839×40589641000000     		ar = 2731282.87925409m²