Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8099 / 6098
↖ ↑ ↗
← N 41.738529°
W  2.043457°		 ← 1 823.10 m → N 41.738529°
W  2.021484°		 →
↑
1 823.38 m
↓
↑
1 823.38 m
↓
N 41.722131°
W  2.043457°		 ← 1 823.57 m →
3 324 636 m²		 N 41.722131°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494354248046875 y=0.372222900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494354248046875 × 214)
    floor (0.494354248046875 × 16384)
    floor (8099.5)     		tx = 8099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372222900390625 × 214)
    floor (0.372222900390625 × 16384)
    floor (6098.5)     		ty = 6098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8099 / 6098 ti = "14/8099/6098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8099/6098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8099 ÷ 214
    8099 ÷ 16384     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6098 ÷ 214
    6098 ÷ 16384     		y = 0.3721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3721923828125 × 2 - 1) × π
    0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.803038942435181))-π/2
    2×atan(2.23231450630489)-π/2
    2×1.14963553675274-π/2
    2.29927107350548-1.57079632675     		φ = 0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8099 KachelY 6098 -0.03566505 0.72847475 -2.043457 41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 8100 KachelY 6098 -0.03528156 0.72847475 -2.021484 41.738529
    Unten links KachelX 8099 KachelY + 1 6099 -0.03566505 0.72818855 -2.043457 41.722131
    Unten rechts KachelX + 1 8100 KachelY + 1 6099 -0.03528156 0.72818855 -2.021484 41.722131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72847475-0.72818855) × R
    0.000286199999999903 × 6371000     		dl = 1823.38019999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72847475-0.72818855) × R
    0.000286199999999903 × 6371000     		dr = 1823.38019999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03528156) × cos(0.72847475) × R
    0.00038349 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 1823.10410084328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03528156) × cos(0.72818855) × R
    0.00038349 × 0.746381180095463 × 6371000     		du = 1823.56953818689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72847475)-sin(0.72818855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746381180095463)×R²
    abs(-0.03528156--0.03566505)×0.000190502016243932×R²
    0.00038349×0.000190502016243932×6371000²
    0.00038349×0.000190502016243932×40589641000000     		ar = 3324636.27732627m²