Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8099 / 5731
↖ ↑ ↗
← N 47.472663°
W  2.043457°		 ← 1 651.47 m → N 47.472663°
W  2.021484°		 →
↑
1 651.75 m
↓
↑
1 651.75 m
↓
N 47.457808°
W  2.043457°		 ← 1 651.94 m →
2 728 196 m²		 N 47.457808°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494354248046875 y=0.349822998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494354248046875 × 214)
    floor (0.494354248046875 × 16384)
    floor (8099.5)     		tx = 8099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349822998046875 × 214)
    floor (0.349822998046875 × 16384)
    floor (5731.5)     		ty = 5731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8099 / 5731 ti = "14/8099/5731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8099/5731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8099 ÷ 214
    8099 ÷ 16384     		x = 0.49432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5731 ÷ 214
    5731 ÷ 16384     		y = 0.34979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03566505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34979248046875 × 2 - 1) × π
    0.3004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.943781679719666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03566505} λ = -0.03566505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943781679719666))-π/2
    2×atan(2.56968077651547)-π/2
    2×1.19967529926161-π/2
    2.39935059852322-1.57079632675     		φ = 0.82855427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03566505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82855427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.472663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8099 KachelY 5731 -0.03566505 0.82855427 -2.043457 47.472663
    Oben rechts KachelX + 1 8100 KachelY 5731 -0.03528156 0.82855427 -2.021484 47.472663
    Unten links KachelX 8099 KachelY + 1 5732 -0.03566505 0.82829501 -2.043457 47.457808
    Unten rechts KachelX + 1 8100 KachelY + 1 5732 -0.03528156 0.82829501 -2.021484 47.457808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82855427-0.82829501) × R
    0.000259259999999983 × 6371000     		dl = 1651.74545999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82855427-0.82829501) × R
    0.000259259999999983 × 6371000     		dr = 1651.74545999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03566505--0.03528156) × cos(0.82855427) × R
    0.00038349 × 0.675941903930099 × 6371000     		do = 1651.47125686278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03566505--0.03528156) × cos(0.82829501) × R
    0.00038349 × 0.676132944141508 × 6371000     		du = 1651.93800913278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82855427)-sin(0.82829501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675941903930099-0.676132944141508)×R²
    abs(-0.03528156--0.03566505)×0.000191040211408144×R²
    0.00038349×0.000191040211408144×6371000²
    0.00038349×0.000191040211408144×40589641000000     		ar = 2728195.64409536m²