Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8097 / 6099
↖ ↑ ↗
← N 41.722131°
W  2.087402°		 ← 1 823.57 m → N 41.722131°
W  2.065430°		 →
↑
1 823.83 m
↓
↑
1 823.83 m
↓
N 41.705729°
W  2.087402°		 ← 1 824.03 m →
3 326 298 m²		 N 41.705729°
W  2.065430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494232177734375 y=0.372283935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494232177734375 × 214)
    floor (0.494232177734375 × 16384)
    floor (8097.5)     		tx = 8097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372283935546875 × 214)
    floor (0.372283935546875 × 16384)
    floor (6099.5)     		ty = 6099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8097 / 6099 ti = "14/8097/6099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8097/6099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8097 ÷ 214
    8097 ÷ 16384     		x = 0.49420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6099 ÷ 214
    6099 ÷ 16384     		y = 0.37225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37225341796875 × 2 - 1) × π
    0.2554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.80265544723822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03643204} λ = -0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.80265544723822))-π/2
    2×atan(2.23145858854428)-π/2
    2×1.14949243821762-π/2
    2.29898487643525-1.57079632675     		φ = 0.72818855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72818855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.722131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8097 KachelY 6099 -0.03643204 0.72818855 -2.087402 41.722131
    Oben rechts KachelX + 1 8098 KachelY 6099 -0.03604855 0.72818855 -2.065430 41.722131
    Unten links KachelX 8097 KachelY + 1 6100 -0.03643204 0.72790228 -2.087402 41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 8098 KachelY + 1 6100 -0.03604855 0.72790228 -2.065430 41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72818855-0.72790228) × R
    0.000286270000000033 × 6371000     		dl = 1823.82617000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72818855-0.72790228) × R
    0.000286270000000033 × 6371000     		dr = 1823.82617000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03643204--0.03604855) × cos(0.72818855) × R
    0.00038349 × 0.746381180095463 × 6371000     		do = 1823.56953818689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03643204--0.03604855) × cos(0.72790228) × R
    0.00038349 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 1824.03493994494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72818855)-sin(0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746381180095463-0.746571667546648)×R²
    abs(-0.03604855--0.03643204)×0.00019048745118555×R²
    0.00038349×0.00019048745118555×6371000²
    0.00038349×0.00019048745118555×40589641000000     		ar = 3326298.27523091m²