Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8092 / 6100
↖ ↑ ↗
← N 41.705729°
W  2.197266°		 ← 1 824.08 m → N 41.705729°
W  2.175293°		 →
↑
1 824.27 m
↓
↑
1 824.27 m
↓
N 41.689322°
W  2.197266°		 ← 1 824.55 m →
3 328 047 m²		 N 41.689322°
W  2.175293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493927001953125 y=0.372344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493927001953125 × 214)
    floor (0.493927001953125 × 16384)
    floor (8092.5)     		tx = 8092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372344970703125 × 214)
    floor (0.372344970703125 × 16384)
    floor (6100.5)     		ty = 6100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8092 / 6100 ti = "14/8092/6100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8092/6100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8092 ÷ 214
    8092 ÷ 16384     		x = 0.493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6100 ÷ 214
    6100 ÷ 16384     		y = 0.372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372314453125 × 2 - 1) × π
    0.25537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.80227195204126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03834952} λ = -0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.80227195204126))-π/2
    2×atan(2.2306029989611)-π/2
    2×1.14934930315578-π/2
    2.29869860631156-1.57079632675     		φ = 0.72790228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72790228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.705729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8092 KachelY 6100 -0.03834952 0.72790228 -2.197266 41.705729
    Oben rechts KachelX + 1 8093 KachelY 6100 -0.03796602 0.72790228 -2.175293 41.705729
    Unten links KachelX 8092 KachelY + 1 6101 -0.03834952 0.72761594 -2.197266 41.689322
    Unten rechts KachelX + 1 8093 KachelY + 1 6101 -0.03796602 0.72761594 -2.175293 41.689322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72790228-0.72761594) × R
    0.000286340000000052 × 6371000     		dl = 1824.27214000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72790228-0.72761594) × R
    0.000286340000000052 × 6371000     		dr = 1824.27214000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03834952--0.03796602) × cos(0.72790228) × R
    0.000383499999999995 × 0.746571667546648 × 6371000     		do = 1824.08250402585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03834952--0.03796602) × cos(0.72761594) × R
    0.000383499999999995 × 0.746762140372289 × 6371000     		du = 1824.54788218557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72790228)-sin(0.72761594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746571667546648-0.746762140372289)×R²
    abs(-0.03796602--0.03834952)×0.000190472825640775×R²
    0.000383499999999995×0.000190472825640775×6371000²
    0.000383499999999995×0.000190472825640775×40589641000000     		ar = 3328047.40410065m²