Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8088 / 6008
↖ ↑ ↗
← N 43.197167°
W  2.285156°		 ← 1 781.11 m → N 43.197167°
W  2.263184°		 →
↑
1 781.40 m
↓
↑
1 781.40 m
↓
N 43.181147°
W  2.285156°		 ← 1 781.58 m →
3 173 277 m²		 N 43.181147°
W  2.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493682861328125 y=0.366729736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493682861328125 × 214)
    floor (0.493682861328125 × 16384)
    floor (8088.5)     		tx = 8088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366729736328125 × 214)
    floor (0.366729736328125 × 16384)
    floor (6008.5)     		ty = 6008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8088 / 6008 ti = "14/8088/6008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8088/6008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8088 ÷ 214
    8088 ÷ 16384     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6008 ÷ 214
    6008 ÷ 16384     		y = 0.36669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36669921875 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837553510161621))-π/2
    2×atan(2.31070693495094)-π/2
    2×1.16236456169593-π/2
    2.32472912339186-1.57079632675     		φ = 0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8088 KachelY 6008 -0.03988350 0.75393280 -2.285156 43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 8089 KachelY 6008 -0.03950001 0.75393280 -2.263184 43.197167
    Unten links KachelX 8088 KachelY + 1 6009 -0.03988350 0.75365319 -2.285156 43.181147
    Unten rechts KachelX + 1 8089 KachelY + 1 6009 -0.03950001 0.75365319 -2.263184 43.181147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75393280-0.75365319) × R
    0.000279609999999986 × 6371000     		dl = 1781.39530999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75393280-0.75365319) × R
    0.000279609999999986 × 6371000     		dr = 1781.39530999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03950001) × cos(0.75393280) × R
    0.00038349 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 1781.10961271964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03950001) × cos(0.75365319) × R
    0.00038349 × 0.72919383603075 × 6371000     		du = 1781.57716496716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75393280)-sin(0.75365319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.72919383603075)×R²
    abs(-0.03950001--0.03988350)×0.000191367639652773×R²
    0.00038349×0.000191367639652773×6371000²
    0.00038349×0.000191367639652773×40589641000000     		ar = 3173276.77905947m²