Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8077 / 5973
↖ ↑ ↗
← N 43.755225°
W  2.526856°		 ← 1 764.78 m → N 43.755225°
W  2.504883°		 →
↑
1 764.96 m
↓
↑
1 764.96 m
↓
N 43.739352°
W  2.526856°		 ← 1 765.25 m →
3 115 180 m²		 N 43.739352°
W  2.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493011474609375 y=0.364593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493011474609375 × 214)
    floor (0.493011474609375 × 16384)
    floor (8077.5)     		tx = 8077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364593505859375 × 214)
    floor (0.364593505859375 × 16384)
    floor (5973.5)     		ty = 5973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8077 / 5973 ti = "14/8077/5973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8077/5973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8077 ÷ 214
    8077 ÷ 16384     		x = 0.49298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5973 ÷ 214
    5973 ÷ 16384     		y = 0.36456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04410195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36456298828125 × 2 - 1) × π
    0.2708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.850975842055237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04410195} λ = -0.04410195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850975842055237))-π/2
    2×atan(2.34193109206603)-π/2
    2×1.16723453445225-π/2
    2.3344690689045-1.57079632675     		φ = 0.76367274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04410195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.526856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76367274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.755225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8077 KachelY 5973 -0.04410195 0.76367274 -2.526856 43.755225
    Oben rechts KachelX + 1 8078 KachelY 5973 -0.04371845 0.76367274 -2.504883 43.755225
    Unten links KachelX 8077 KachelY + 1 5974 -0.04410195 0.76339571 -2.526856 43.739352
    Unten rechts KachelX + 1 8078 KachelY + 1 5974 -0.04371845 0.76339571 -2.504883 43.739352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76367274-0.76339571) × R
    0.000277030000000011 × 6371000     		dl = 1764.95813000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76367274-0.76339571) × R
    0.000277030000000011 × 6371000     		dr = 1764.95813000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04410195--0.04371845) × cos(0.76367274) × R
    0.000383500000000002 × 0.722300898423067 × 6371000     		do = 1764.78225564777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04410195--0.04371845) × cos(0.76339571) × R
    0.000383500000000002 × 0.722492458814021 × 6371000     		du = 1765.25029103244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76367274)-sin(0.76339571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722300898423067-0.722492458814021)×R²
    abs(-0.04371845--0.04410195)×0.000191560390954248×R²
    0.000383500000000002×0.000191560390954248×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191560390954248×40589641000000     		ar = 3115179.84113749m²