Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8070 / 5977
↖ ↑ ↗
← N 43.691708°
W  2.680664°		 ← 1 766.61 m → N 43.691708°
W  2.658691°		 →
↑
1 766.87 m
↓
↑
1 766.87 m
↓
N 43.675818°
W  2.680664°		 ← 1 767.08 m →
3 121 780 m²		 N 43.675818°
W  2.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492584228515625 y=0.364837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492584228515625 × 214)
    floor (0.492584228515625 × 16384)
    floor (8070.5)     		tx = 8070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364837646484375 × 214)
    floor (0.364837646484375 × 16384)
    floor (5977.5)     		ty = 5977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8070 / 5977 ti = "14/8070/5977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8070/5977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8070 ÷ 214
    8070 ÷ 16384     		x = 0.4925537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5977 ÷ 214
    5977 ÷ 16384     		y = 0.36480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4925537109375 × 2 - 1) × π
    -0.014892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04678641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    0.2703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.849441861267395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04678641} λ = -0.04678641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849441861267395))-π/2
    2×atan(2.33834136875157)-π/2
    2×1.1666802427528-π/2
    2.33336048550561-1.57079632675     		φ = 0.76256416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04678641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76256416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.691708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8070 KachelY 5977 -0.04678641 0.76256416 -2.680664 43.691708
    Oben rechts KachelX + 1 8071 KachelY 5977 -0.04640292 0.76256416 -2.658691 43.691708
    Unten links KachelX 8070 KachelY + 1 5978 -0.04678641 0.76228683 -2.680664 43.675818
    Unten rechts KachelX + 1 8071 KachelY + 1 5978 -0.04640292 0.76228683 -2.658691 43.675818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76256416-0.76228683) × R
    0.000277330000000076 × 6371000     		dl = 1766.86943000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76256416-0.76228683) × R
    0.000277330000000076 × 6371000     		dr = 1766.86943000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04678641--0.04640292) × cos(0.76256416) × R
    0.00038349 × 0.72306712499716 × 6371000     		do = 1766.60829395584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04678641--0.04640292) × cos(0.76228683) × R
    0.00038349 × 0.723258670588463 × 6371000     		du = 1767.07628097747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76256416)-sin(0.76228683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72306712499716-0.723258670588463)×R²
    abs(-0.04640292--0.04678641)×0.000191545591303188×R²
    0.00038349×0.000191545591303188×6371000²
    0.00038349×0.000191545591303188×40589641000000     		ar = 3121779.6453644m²