Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8068 / 8567
↖ ↑ ↗
← S  8.211490°
W  2.724609°		 ← 2 418.17 m → S  8.211490°
W  2.702637°		 →
↑
2 418.18 m
↓
↑
2 418.18 m
↓
S  8.233237°
W  2.724609°		 ← 2 418.03 m →
5 847 393 m²		 S  8.233237°
W  2.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492462158203125 y=0.522918701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492462158203125 × 214)
    floor (0.492462158203125 × 16384)
    floor (8068.5)     		tx = 8068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522918701171875 × 214)
    floor (0.522918701171875 × 16384)
    floor (8567.5)     		ty = 8567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8068 / 8567 ti = "14/8068/8567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8068/8567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8068 ÷ 214
    8068 ÷ 16384     		x = 0.492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8567 ÷ 214
    8567 ÷ 16384     		y = 0.52288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.143810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04755340} λ = -0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143810698860168))-π/2
    2×atan(0.866051677112368)-π/2
    2×0.71373939207981-π/2
    1.42747878415962-1.57079632675     		φ = -0.14331754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14331754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.211490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8068 KachelY 8567 -0.04755340 -0.14331754 -2.724609 -8.211490
    Oben rechts KachelX + 1 8069 KachelY 8567 -0.04716991 -0.14331754 -2.702637 -8.211490
    Unten links KachelX 8068 KachelY + 1 8568 -0.04755340 -0.14369710 -2.724609 -8.233237
    Unten rechts KachelX + 1 8069 KachelY + 1 8568 -0.04716991 -0.14369710 -2.702637 -8.233237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14331754--0.14369710) × R
    0.000379560000000001 × 6371000     		dl = 2418.17676000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14331754--0.14369710) × R
    0.000379560000000001 × 6371000     		dr = 2418.17676000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04755340--0.04716991) × cos(-0.14331754) × R
    0.00038349 × 0.989747608008167 × 6371000     		do = 2418.16599425268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04755340--0.04716991) × cos(-0.14369710) × R
    0.00038349 × 0.989693325138832 × 6371000     		du = 2418.03336954347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14331754)-sin(-0.14369710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989747608008167-0.989693325138832)×R²
    abs(-0.04716991--0.04755340)×5.4282869335176e-05×R²
    0.00038349×5.4282869335176e-05×6371000²
    0.00038349×5.4282869335176e-05×40589641000000     		ar = 5847392.52433015m²