Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8048 / 5840
↖ ↑ ↗
← N 45.828799°
W  3.164063°		 ← 1 702.49 m → N 45.828799°
W  3.142090°		 →
↑
1 702.71 m
↓
↑
1 702.71 m
↓
N 45.813486°
W  3.164063°		 ← 1 702.96 m →
2 899 248 m²		 N 45.813486°
W  3.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491241455078125 y=0.356475830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491241455078125 × 214)
    floor (0.491241455078125 × 16384)
    floor (8048.5)     		tx = 8048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356475830078125 × 214)
    floor (0.356475830078125 × 16384)
    floor (5840.5)     		ty = 5840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8048 / 5840 ti = "14/8048/5840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8048/5840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8048 ÷ 214
    8048 ÷ 16384     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5840 ÷ 214
    5840 ÷ 16384     		y = 0.3564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3564453125 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.901980703250977))-π/2
    2×atan(2.46447968296184)-π/2
    2×1.18532988297924-π/2
    2.37065976595847-1.57079632675     		φ = 0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8048 KachelY 5840 -0.05522331 0.79986344 -3.164063 45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 8049 KachelY 5840 -0.05483981 0.79986344 -3.142090 45.828799
    Unten links KachelX 8048 KachelY + 1 5841 -0.05522331 0.79959618 -3.164063 45.813486
    Unten rechts KachelX + 1 8049 KachelY + 1 5841 -0.05483981 0.79959618 -3.142090 45.813486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79986344-0.79959618) × R
    0.000267259999999991 × 6371000     		dl = 1702.71345999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79986344-0.79959618) × R
    0.000267259999999991 × 6371000     		dr = 1702.71345999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05483981) × cos(0.79986344) × R
    0.000383499999999995 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 1702.48785669008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05483981) × cos(0.79959618) × R
    0.000383499999999995 × 0.696996335269732 × 6371000     		du = 1702.95616054331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79986344)-sin(0.79959618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.696996335269732)×R²
    abs(-0.05483981--0.05522331)×0.000191670271412092×R²
    0.000383499999999995×0.000191670271412092×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191670271412092×40589641000000     		ar = 2899247.6999669m²