Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8040 / 5672
↖ ↑ ↗
← N 48.341646°
W  3.339844°		 ← 1 624.02 m → N 48.341646°
W  3.317871°		 →
↑
1 624.22 m
↓
↑
1 624.22 m
↓
N 48.327039°
W  3.339844°		 ← 1 624.48 m →
2 638 143 m²		 N 48.327039°
W  3.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490753173828125 y=0.346221923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490753173828125 × 214)
    floor (0.490753173828125 × 16384)
    floor (8040.5)     		tx = 8040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346221923828125 × 214)
    floor (0.346221923828125 × 16384)
    floor (5672.5)     		ty = 5672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8040 / 5672 ti = "14/8040/5672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8040/5672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8040 ÷ 214
    8040 ÷ 16384     		x = 0.49072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5672 ÷ 214
    5672 ÷ 16384     		y = 0.34619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05829127} λ = -0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966407896340332))-π/2
    2×atan(2.62848568802197)-π/2
    2×1.20725860915929-π/2
    2.41451721831859-1.57079632675     		φ = 0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8040 KachelY 5672 -0.05829127 0.84372089 -3.339844 48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 8041 KachelY 5672 -0.05790777 0.84372089 -3.317871 48.341646
    Unten links KachelX 8040 KachelY + 1 5673 -0.05829127 0.84346595 -3.339844 48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 8041 KachelY + 1 5673 -0.05790777 0.84346595 -3.317871 48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84372089-0.84346595) × R
    0.000254939999999926 × 6371000     		dl = 1624.22273999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84372089-0.84346595) × R
    0.000254939999999926 × 6371000     		dr = 1624.22273999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05829127--0.05790777) × cos(0.84372089) × R
    0.000383500000000002 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 1624.01662075344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05829127--0.05790777) × cos(0.84346595) × R
    0.000383500000000002 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 1624.48194206026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84372089)-sin(0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.664877926139102)×R²
    abs(-0.05790777--0.05829127)×0.000190449556538796×R²
    0.000383500000000002×0.000190449556538796×6371000²
    0.000383500000000002×0.000190449556538796×40589641000000     		ar = 2638142.63257716m²