Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80128 / 38144
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
E 40.078125°		 ← 153.23 m → N 59.888937°
E 40.080872°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 59.887559°
E 40.078125°		 ← 153.23 m →
23 468 m²		 N 59.887559°
E 40.080872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611331939697266 y=0.291019439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611331939697266 × 217)
    floor (0.611331939697266 × 131072)
    floor (80128.5)     		tx = 80128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291019439697266 × 217)
    floor (0.291019439697266 × 131072)
    floor (38144.5)     		ty = 38144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80128 / 38144 ti = "17/80128/38144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80128/38144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80128 ÷ 217
    80128 ÷ 131072     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38144 ÷ 217
    38144 ÷ 131072     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80128 KachelY 38144 0.69949524 1.04525913 40.078125 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 80129 KachelY 38144 0.69954318 1.04525913 40.080872 59.888937
    Unten links KachelX 80128 KachelY + 1 38145 0.69949524 1.04523509 40.078125 59.887559
    Unten rechts KachelX + 1 80129 KachelY + 1 38145 0.69954318 1.04523509 40.080872 59.887559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.04523509) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.04523509) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(1.04525913) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 153.225307680672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69954318) × cos(1.04523509) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.501698577346123 × 6371000     		du = 153.231659243141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.04523509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.501698577346123)×R²
    abs(0.69954318-0.69949524)×2.07957668176828e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.07957668176828e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.07957668176828e-05×40589641000000     		ar = 23468.2967830864m²