Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8012 / 5647
↖ ↑ ↗
← N 48.705463°
W  3.955078°		 ← 1 612.39 m → N 48.705463°
W  3.933105°		 →
↑
1 612.63 m
↓
↑
1 612.63 m
↓
N 48.690960°
W  3.955078°		 ← 1 612.86 m →
2 600 564 m²		 N 48.690960°
W  3.933105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489044189453125 y=0.344696044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489044189453125 × 214)
    floor (0.489044189453125 × 16384)
    floor (8012.5)     		tx = 8012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344696044921875 × 214)
    floor (0.344696044921875 × 16384)
    floor (5647.5)     		ty = 5647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8012 / 5647 ti = "14/8012/5647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8012/5647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8012 ÷ 214
    8012 ÷ 16384     		x = 0.489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5647 ÷ 214
    5647 ÷ 16384     		y = 0.34466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489013671875 × 2 - 1) × π
    -0.02197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06902914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34466552734375 × 2 - 1) × π
    0.3106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.975995276264343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06902914} λ = -0.06902914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975995276264343))-π/2
    2×atan(2.65380716830601)-π/2
    2×1.21043350900798-π/2
    2.42086701801596-1.57079632675     		φ = 0.85007069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06902914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85007069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.705463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8012 KachelY 5647 -0.06902914 0.85007069 -3.955078 48.705463
    Oben rechts KachelX + 1 8013 KachelY 5647 -0.06864564 0.85007069 -3.933105 48.705463
    Unten links KachelX 8012 KachelY + 1 5648 -0.06902914 0.84981757 -3.955078 48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 8013 KachelY + 1 5648 -0.06864564 0.84981757 -3.933105 48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85007069-0.84981757) × R
    0.000253119999999996 × 6371000     		dl = 1612.62751999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85007069-0.84981757) × R
    0.000253119999999996 × 6371000     		dr = 1612.62751999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06902914--0.06864564) × cos(0.85007069) × R
    0.000383500000000009 × 0.659930036224194 × 6371000     		do = 1612.39286901083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06902914--0.06864564) × cos(0.84981757) × R
    0.000383500000000009 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 1612.85747005246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85007069)-sin(0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659930036224194-0.66012019098618)×R²
    abs(-0.06864564--0.06902914)×0.000190154761985584×R²
    0.000383500000000009×0.000190154761985584×6371000²
    0.000383500000000009×0.000190154761985584×40589641000000     		ar = 2600563.74171525m²